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.. _sec_linear_regression:
线性回归
========
*回归*\ （regression）
是指一类为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的方法。在自然科学和社会科学领域，回归经常用来表示输入和输出之间的关系。
在机器学习领域中的大多数任务通常都与\ *预测*\ （prediction）有关。
当我们想预测一个数值时，就会涉及到回归问题。常见的例子包括：预测价格（房屋、股票等）、预测住院时间（针对住院病人）、预测需求（零售销量）等。但不是所有的\ *预测*\ 都是回归问题。在后面的章节中，我们将介绍分类问题。分类问题的目标是预测数据属于一组类别中的哪一个。
线性回归的基本元素
------------------
*线性回归* （linear
regression）在回归的各种标准工具中最简单而且最流行。它可以追溯到19世纪初。线性回归基于几个简单的假设：首先，假设自变量
:math:`\mathbf{x}` 和因变量 :math:`y`
之间的关系是线性的，即\ :math:`y`\ 可以表示为 :math:`\mathbf{x}`
中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声；其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。
为了解释\ *线性回归*\ ，我们举一个实际的例子：我们希望根据房屋的面积（平方英尺）和房龄（年）来估算房屋价格（美元）。为了开发一个能预测房价的模型，我们需要收集一个真实的数据集。这个数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。在机器学习的术语中，该数据集称为
*训练数据集*\ （training data set）或\ *训练集* （training
set），每行数据（在这个例子中是与一次房屋交易相对应的数据）称为\ *样本*\ （sample），也可以称为\ *数据点*
（data point）或\ *数据样本*\ （data
instance）。我们要试图预测的目标（在这个例子中是房屋价格）称为
*标签*\ （label）或
*目标*\ （target）。预测所依据的自变量（面积和房龄）称为
*特征*\ （features）或 *协变量*\ （covariates）。
通常，我们使用 :math:`n` 来表示数据集中的样本数。对索引为 :math:`i`
的样本，其输入表示为
:math:`\mathbf{x}^{(i)} = [x_1^{(i)}, x_2^{(i)}]^\top`\ ，其对应的标签是
:math:`y^{(i)}`\ 。
.. _subsec_linear_model:
线性模型
~~~~~~~~
线性假设是指目标（房屋价格）可以表示为特征（面积和房龄）的加权和，如下面的式子：
.. math:: \mathrm{price} = w_{\mathrm{area}} \cdot \mathrm{area} + w_{\mathrm{age}} \cdot \mathrm{age} + b.
:label: eq_price-area
:eq:`eq_price-area` 中的\ :math:`w_{\mathrm{area}}` 和
:math:`w_{\mathrm{age}}` 称为 *权重*\ （weight），\ :math:`b` 称为
*偏置*\ （bias），或称为\ *偏移量*\ （offset）、\ *截距*\ （intercept）。权重决定了每个特征对我们预测值的影响。偏置是指当所有特征都取值为0时，预测值应该为多少。即使现实中不会有任何房子的面积是0或房龄正好是0年，我们仍然需要偏置项。如果没有偏置项，我们模型的表达能力将受到限制。严格来说，
:eq:`eq_price-area` 是输入特征的一个\ *仿射变换*\ （affine
transformation）。仿射变换的特点是通过加权和对特征进行\ *线性变换*\ （linear
transformation），并通过偏置项来进行\ *平移*\ （translation）。
给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重 :math:`\mathbf{w}` 和偏置
:math:`b`\ ，使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。输出的预测值由输入特征通过\ *线性模型*\ 的仿射变换决定，仿射变换由所选权重和偏置确定。
有些学科往往只关注有少量特征的数据集。在这些学科中，建模时经常像这样通过长形式显式地表达。而在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。当我们的输入包含
:math:`d` 个特征时，我们将预测结果 :math:`\hat{y}`\ （通常使用 “尖角”
符号表示估计值）表示为：
.. math:: \hat{y} = w_1 x_1 + ... + w_d x_d + b.
将所有特征放到向量 :math:`\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d`
中，并将所有权重放到向量 :math:`\mathbf{w} \in \mathbb{R}^d`
中，我们可以用点积形式来简洁地表达模型：
.. math:: \hat{y} = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b.
:label: eq_linreg-y
在 :eq:`eq_linreg-y` 中，向量 :math:`\mathbf{x}`
对应于单个数据样本的特征。用符号表示的矩阵
:math:`\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}`
可以很方便地引用我们整个数据集的 :math:`n`
个样本。其中，\ :math:`\mathbf{X}`
的每一行是一个样本，每一列是一种特征。
对于特征集合 :math:`\mathbf{X}` ，预测值
:math:`\hat{\mathbf{y}} \in \mathbb{R}^n` 可以通过矩阵-向量乘法表示为：
.. math:: {\hat{\mathbf{y}}} = \mathbf{X} \mathbf{w} + b
这个过程中的求和将使用广播机制（广播机制在
:numref:`subsec_broadcasting` 中有详细介绍）。 给定训练数据特征
:math:`\mathbf{X}` 和对应的已知标签 :math:`\mathbf{y}`
，线性回归的目标是找到一组权重向量 :math:`\mathbf{w}` 和偏置
:math:`b`\ 。当给定从\ :math:`\mathbf{X}`\ 的同分布中取样的新样本特征时，找到的权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。
虽然我们相信给定 :math:`\mathbf{x}` 预测 :math:`y`
的最佳模型会是线性的，但我们很难找到一个有\ :math:`n`\ 个样本的真实数据集，其中对于所有的
:math:`1 \leq i \leq n`\ ， :math:`y^{(i)}` 完全等于
:math:`\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)}+b`\ 。无论我们使用什么手段来观察特征
:math:`\mathbf{X}` 和标签 :math:`\mathbf{y}`
，都可能会出现少量的观测误差。因此，即使确信特征与标签的潜在关系是线性的，我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。
在我们开始寻找最好的 *模型参数*\ （model
parameters）\ :math:`\mathbf{w}` 和 :math:`b`
之前，我们还需要两个东西：（1）一种模型质量的度量方式；（2）一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。
损失函数
~~~~~~~~
在我们开始考虑如何用模型\ *拟合*\ （fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。\ *损失函数*
能够量化目标的\ *实际*\ 值与\ *预测*
值之间的差距。通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。当样本
:math:`i` 的预测值为 :math:`\hat{y}^{(i)}`\ ，其相应的真实标签为
:math:`y^{(i)}` 时，平方误差可以定义为以下公式：
.. math:: l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{2} \left(\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}\right)^2.
常数\ :math:`\frac{1}{2}`\ 不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些，表现为当我们对损失函数求导后常数系数为1。由于训练数据集并不受我们控制，所以经验误差只是关于模型参数的函数。为了进一步说明，来看下面的例子。我们为一维情况下的回归问题绘制图像，如
:numref:`fig_fit_linreg` 所示。
|用线性模型拟合数据。| .. _fig_fit_linreg:
由于平方误差函数中的二次方项，估计值 :math:`\hat{y}^{(i)}` 和观测值
:math:`y^{(i)}`
之间较大的差异将贡献更大的损失。为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集\ :math:`n`\ 个样本上的损失均值（也等价于求和）。
.. math:: L(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n l^{(i)}(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2.
在训练模型时，我们希望寻找一组参数
(:math:`\mathbf{w}^*, b^*`)，这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式：
.. math:: \mathbf{w}^*, b^* = \operatorname*{argmin}_{\mathbf{w}, b}\ L(\mathbf{w}, b).
解析解
~~~~~~
线性回归刚好是一个很简单的优化问题。与我们将在本书中所讲到的其他大部分模型不同，线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来，这类解叫作解析解（analytical
solution）。首先，我们将偏置 :math:`b` 合并到参数 :math:`\mathbf{w}`
中。合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。我们的预测问题是最小化
:math:`\|\mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{w}\|^2`\ 。这在损失平面上只有一个临界点，这个临界点对应于整个区域的损失最小值。将损失关于\ :math:`\mathbf{w}`\ 的导数设为0，得到解析解（闭合形式）：
.. math:: \mathbf{w}^* = (\mathbf X^\top \mathbf X)^{-1}\mathbf X^\top \mathbf{y}.
像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。解析解可以进行很好的数学分析，但解析解的限制很严格，导致它无法应用在深度学习里。
小批量随机梯度下降
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
即使在我们无法得到解析解的情况下，我们仍然可以有效地训练模型。在许多任务上，那些难以优化的模型效果要更好。因此，弄清楚如何训练这些难以优化的模型是非常重要的。
本书中我们用到一种名为\ *梯度下降*\ （gradient
descent）的方法，这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。
梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值）关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本，这种变体叫做\ *小批量随机梯度下降*\ （minibatch
stochastic gradient descent）。
在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量\ :math:`\mathcal{B}`\ ，它是由固定数量的训练样本组成的。然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数\ :math:`\eta`\ ，并从当前参数的值中减掉。
我们用下面的数学公式来表示这一更新过程（\ :math:`\partial`
表示偏导数）：
.. math:: (\mathbf{w},b) \leftarrow (\mathbf{w},b) - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{(\mathbf{w},b)} l^{(i)}(\mathbf{w},b).
总结一下，算法的步骤如下：（1）初始化模型参数的值，如随机初始化；（2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。对于平方损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式:
.. math:: \begin{aligned} \mathbf{w} &\leftarrow \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{\mathbf{w}} l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right),\\ b &\leftarrow b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_b l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned}
:label: eq_linreg_batch_update
公式 :eq:`eq_linreg_batch_update` 中的\ :math:`\mathbf{w}` 和
:math:`\mathbf{x}` 都是向量。在这里，更优雅的向量表示法比系数表示法（如
:math:`w_1, w_2, \ldots, w_d`\ ）更具可读性。 :math:`|\mathcal{B}|`
表示每个小批量中的样本数，这也称为\ *批量大小*\ （batch
size）。\ :math:`\eta` 表示 *学习率*\ （learning
rate）。批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为
*超参数*\ （hyperparameter）。 *调参*\ （hyperparameter tuning）
是选择超参数的过程。超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的，而训练迭代结果是在独立的\ *验证数据集*\ （validation
dataset）上评估得到的。
在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后），我们记录下模型参数的估计值，表示为\ :math:`\hat{\mathbf{w}}, \hat{b}`\ 。但是，即使我们的函数确实是线性的且无噪声，这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛，但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。
线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。但是对于像深度神经网络这样复杂的模型来说，损失平面上通常包含多个最小值。幸运的是，出于某种原因，深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数，使得在
*训练集*
上的损失达到最小。事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失，这一挑战被称为
*泛化*\ （generalization）。
用学习到的模型进行预测
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
给定学习到的线性回归模型
:math:`\hat{\mathbf{w}}^\top \mathbf{x} + \hat{b}`\ ，现在我们可以通过给定的房屋面积
:math:`x_1` 和房龄
:math:`x_2`\ 来估计一个未包含在训练数据中的新房屋价格。给定特征估计目标的过程通常称为\ *预测*\ （prediction）或\ *推断*\ （inference）。
我们将尝试坚持使用\ *预测*\ 这个词。虽然\ *推断*\ 这个词已经成为深度学习的标准术语，但其实\ *推断*\ 这个词有些用词不当。在统计学中，\ *推断*\ 更多地表示基于数据集估计参数。当深度学习从业者与统计学家交谈时，术语的误用经常导致一些误解。
矢量化加速
----------
在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。为了实现这一点，需要我们对计算进行矢量化，从而利用线性代数库，而不是在Java中编写开销高昂的for循环。
为了说明矢量化为什么如此重要，我们考虑(对向量相加的两种方法)。
我们实例化两个全1的10000维向量。在一种方法中，我们将使用Java的for循环遍历向量。在另一种方法中，我们将使
``NDArray.add()`` 函数的调用。
由于在本书中我们将频繁地进行运行时间的基准测试，所以我们定义一个计时器类：\ ``StopWatch``\ 。为了避免重复，我们把这些常用的类库打包在
``utils`` 目录下，然后用\ ``%load``\ 加载到 Jupyter 中。
.. |用线性模型拟合数据。| image:: https://zh-v2.d2l.ai/_images/fit-linreg.svg
.. code:: java
%load ../utils/djl-imports
%load ../utils/plot-utils
%load ../utils/StopWatch.java
.. code:: java
import java.util.stream.*;
.. code:: java
int n = 10000;
NDManager manager = NDManager.newBaseManager();
NDArray a = manager.ones(new Shape(n));
NDArray b = manager.ones(new Shape(n));
现在我们可以对工作负载进行基准测试。首先，我们使用for循环，每次执行一位的加法。
.. code:: java
NDArray c = manager.zeros(new Shape(n));
StopWatch stopWatch = new StopWatch();
for (int i = 0; i < n; i++) {
c.set(new NDIndex(i), a.getFloat(i) + b.getFloat(i));
}
String.format("%.5f sec", stopWatch.stop());
.. parsed-literal::
:class: output
6.76111 sec
接下来，我们使用 ``NDArray.add()`` 运算符来计算按元素的和。
.. code:: java
stopWatch.start();
NDArray d = a.add(b);
String.format("%.5f sec", stopWatch.stop());
.. parsed-literal::
:class: output
0.05493 sec
结果很明显，第二种方法比第一种方法快得多。矢量化代码通常会带来数量级的加速。另外，我们将更多的数学运算放到库中，而无需自己编写那么多的计算，从而减少了出错的可能性。
.. _subsec_normal_distribution_and_squared_loss:
正态分布与平方损失
------------------
接下来，我们通过对噪声分布的假设来解读平方损失目标函数。
正态分布（normal distribution），也称为 *高斯分布*\ （Gaussian
distribution），最早由德国数学家高斯（Gauss）应用于天文学研究。
正态分布和线性回归之间的关系很密切。 简单的说，若随机变量 :math:`x`
具有均值 :math:`\mu` 和方差 :math:`\sigma^2`\ （标准差
:math:`\sigma`\ ），其正态分布概率密度函数如下：
.. math:: p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (x - \mu)^2\right).
下面我们定义一个Java函数来计算正态分布。
.. code:: java
public float[] normal(float[] z, float mu, float sigma) {
float[] dist = new float[z.length];
for (int i = 0; i < z.length; i++) {
float p = 1.0f / (float) Math.sqrt(2 * Math.PI * sigma * sigma);
dist[i] = p * (float) Math.pow(Math.E, -0.5 / (sigma * sigma) * (z[i] - mu) * (z[i] - mu));
}
return dist;
}
我们现在可视化正态分布。
.. code:: java
int start = -7;
int end = 14;
float step = 0.01f;
int count = (int) (end / step);
float[] x = new float[count];
for (int i = 0; i < count; i++) {
x[i] = start + i * step;
}
.. code:: java
import org.apache.commons.lang3.ArrayUtils;
public float[] combine3(float[] x, float[] y, float[] z) {
return ArrayUtils.addAll(ArrayUtils.addAll(x, y), z);
}
.. code:: java
float[] y1 = normal(x, 0, 1);
float[] y2 = normal(x, 0, 2);
float[] y3 = normal(x, 3, 1);
String[] params = new String[x.length * 3];
Arrays.fill(params, 0, x.length, "mean 0, var 1");
Arrays.fill(params, x.length, x.length * 2, "mean 0, var 2");
Arrays.fill(params, x.length * 2, x.length * 3, "mean 3, var 1");
Table normalDistributions = Table.create("normal")
.addColumns(
FloatColumn.create("z", combine3(x, x, x)),
FloatColumn.create("p(z)", combine3(y1, y2, y3)),
StringColumn.create("params", params)
);
LinePlot.create("Normal Distributions", normalDistributions, "z", "p(z)", "params");
.. raw:: html
![]()
就像我们所看到的，改变均值会产生沿 :math:`x`
轴的偏移，增加方差将会分散分布、降低其峰值。
均方误差损失函数（简称均方损失）可以用于线性回归的一个原因是：我们假设了观测中包含噪声，其中噪声服从正态分布。噪声正态分布如下式:
.. math:: y = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b + \epsilon \text{ where } \epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2).
因此，我们现在可以写出通过给定的\ :math:`\mathbf{x}`\ 观测到特定\ :math:`y`\ 的\ *可能性*\ （likelihood）：
.. math:: P(y \mid \mathbf{x}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (y - \mathbf{w}^\top \mathbf{x} - b)^2\right).
现在，根据最大似然估计法，参数 :math:`\mathbf{w}` 和 :math:`b`
的最优值是使整个数据集的\ *可能性*\ 最大的值：
.. math:: P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \prod_{i=1}^{n} p(y^{(i)}|\mathbf{x}^{(i)}).
根据最大似然估计法选择的估计量称为\ *最大似然估计量* 。
虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难，但是我们可以在不改变目标的前提下，通过最大化似然对数来简化。
由于历史原因，优化通常是说最小化而不是最大化。我们可以改为
*最小化负对数似然*
:math:`-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)`\ 。由此可以得到的数学公式是：
.. math:: -\log P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \log(2 \pi \sigma^2) + \frac{1}{2 \sigma^2} \left(y^{(i)} - \mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} - b\right)^2.
现在我们只需要假设\ :math:`\sigma`\ 是某个固定常数就可以忽略第一项，因为第一项不依赖于
:math:`\mathbf{w}`\ 和\ :math:`b`\ 。现在第二项除了常数\ :math:`\frac{1}{\sigma^2}`\ 外，其余部分和前面介绍的平方误差损失是一样的。
幸运的是，上面式子的解并不依赖于
:math:`\sigma`\ 。因此，在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的最大似然估计。
从线性回归到深度网络
--------------------
到目前为止，我们只谈论了线性模型。
尽管神经网络涵盖了更多更为丰富的模型，我们依然可以用描述神经网络的方式来描述线性模型，从而把线性模型看作一个神经网络。
首先，让我们用“层”符号来重写这个模型。
神经网络图
~~~~~~~~~~
深度学习从业者喜欢绘制图表来可视化模型中正在发生的事情。 在
:numref:`fig_single_neuron` 中，我们将线性回归模型描述为一个神经网络。
需要注意的是，该图只显示连接模式，即只显示每个输入如何连接到输出，隐去了权重和偏置的值。
|线性回归是一个单层神经网络。| .. _fig_single_neuron:
在 :numref:`fig_single_neuron` 所示的神经网络中，输入为
:math:`x_1, \ldots, x_d`\ ，因此输入层中的 *输入数*\ （或称为 *特征维度*
feature dimensionality）为
:math:`d`\ 。网络的输出为\ :math:`o_1`\ ，因此输出层中的 *输出数* 是
1。需要注意的是，输入值都是已经给定的，并且只有一个\ *计算*
神经元。由于模型重点在发生计算的地方，所以通常我们在计算层数时不考虑输入层。也就是说，
:numref:`fig_single_neuron` 中神经网络的 *层数*
为1。我们可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。
对于线性回归，每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连，我们将这种变换（
:numref:`fig_single_neuron` 中的输出层）称为
*全连接层*\ （fully-connected layer）（或称为 *稠密层* dense
layer）。下一章将详细讨论由这些层组成的网络。
生物学
~~~~~~
线性回归发明的时间（1795年）早于计算神经科学，所以将线性回归描述为神经网络似乎不合适。
当控制学家、神经生物学家沃伦·麦库洛奇和沃尔特·皮茨开始开发人工神经元模型时，他们为什么将线性模型作为一个起点呢？我们来看一张图片
:numref:`fig_Neuron`
，这是一张由\ *树突*\ （dendrites，输入终端）、\ *细胞核*\ （nucleus，CPU）组成的生物神经元图片。\ *轴突*\ （axon，输出线）和\ *轴突端子*\ （axon
terminals，输出端子）通过\ *突触*\ （synapses）与其他神经元连接。
|真实的神经元。| .. _fig_Neuron:
树突中接收到来自其他神经元（或视网膜等环境传感器）的信息\ :math:`x_i`\ 。该信息通过\ *突触权重*
:math:`w_i`\ 来加权，以确定输入的影响（即，通过\ :math:`x_i w_i`\ 相乘来激活或抑制）。
来自多个源的加权输入以加权和\ :math:`y = \sum_i x_i w_i + b`\ 的形式汇聚在细胞核中，然后将这些信息发送到轴突
:math:`y` 中进一步处理，通常会通过 :math:`\sigma(y)`
进行一些非线性处理。之后，它要么到达目的地（例如肌肉），要么通过树突进入另一个神经元。
当然，许多这样的单元可以通过正确连接和正确的学习算法拼凑在一起，从而产生的行为会比单独一个神经元所产生的行为更有趣、更复杂，这种想法归功于我们对真实生物神经系统的研究。
当今大多数深度学习的研究几乎没有直接从神经科学中获得灵感。我们援引斯图尔特·罗素和彼得·诺维格谁，在他们的经典人工智能教科书
*Artificial Intelligence: A Modern Approach*
:cite:`Russell.Norvig.2016`
中所说：虽然飞机可能受到鸟类的启发。但几个世纪以来，鸟类学并不是航空创新的主要驱动力。同样地，如今在深度学习中的灵感同样或更多地来自数学、统计学和计算机科学。
小结
----
- 机器学习模型中的关键要素是训练数据，损失函数，优化算法，还有模型本身。
- 矢量化使数学表达上更简洁，同时运行的更快。
- 最小化目标函数和执行最大似然估计等价。
- 线性回归模型也是神经网络。
练习
----
1. 假设我们有一些数据
:math:`x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}`\ 。我们的目标是找到一个常数\ :math:`b`\ ，使得最小化
:math:`\sum_i (x_i - b)^2`\ 。
1. 找到最优值 :math:`b` 的解析解。
2. 这个问题及其解与正态分布有什么关系?
2. 推导出使用平方误差的线性回归优化问题的解析解。为了简化问题，可以忽略偏置\ :math:`b`\ (我们可以通过向
:math:`\mathbf X` 添加所有值为1的一列来做到这一点)。
1. 用矩阵和向量表示法写出优化问题(将所有数据视为单个矩阵，将所有目标值视为单个向量)。
2. 计算损失对\ :math:`w`\ 的梯度。
3. 通过将梯度设为0、求解矩阵方程来找到解析解。
4. 什么时候可能比使用随机梯度下降更好？这种方法何时会失效？
3. 假定控制附加噪声 :math:`\epsilon`
的噪声模型是指数分布。也就是说，\ :math:`p(\epsilon) = \frac{1}{2} \exp(-|\epsilon|)`
1. 写出模型 :math:`-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)`
下数据的负对数似然。
2. 你能写出解析解吗？
3. 提出一种随机梯度下降算法来解决这个问题。哪里可能出错？（提示：当我们不断更新参数时，在驻点附近会发生什么情况）你能解决这个问题吗？
.. |线性回归是一个单层神经网络。| image:: https://zh-v2.d2l.ai/_images/singleneuron.svg
.. |真实的神经元。| image:: https://zh-v2.d2l.ai/_images/neuron.svg