Run this notebook online:\ |Binder| or Colab: |Colab| .. |Binder| image:: https://mybinder.org/badge_logo.svg :target: https://mybinder.org/v2/gh/deepjavalibrary/d2l-java/master?filepath=chapter_optimization/adagrad.ipynb .. |Colab| image:: https://colab.research.google.com/assets/colab-badge.svg :target: https://colab.research.google.com/github/deepjavalibrary/d2l-java/blob/colab/chapter_optimization/adagrad.ipynb .. _sec_adagrad: AdaGrad算法 =========== 我们从有关特征学习中并不常见的问题入手。 稀疏特征和学习率 ---------------- 假设我们正在训练一个语言模型。 为了获得良好的准确性，我们大多希望在训练的过程中降低学习率，速度通常为\ :math:`\mathcal{O}(t^{-\frac{1}{2}})`\ 或更低。 现在讨论关于稀疏特征（即只在偶尔出现的特征）的模型训练，这对自然语言来说很常见。 例如，我们看到“预先条件”这个词比“学习”这个词的可能性要小得多。 但是，它在计算广告学和个性化协同过滤等其他领域也很常见。 只有在这些不常见的特征出现时，与其相关的参数才会得到有意义的更新。 鉴于学习率下降，我们可能最终会面临这样的情况：常见特征的参数相当迅速地收敛到最佳值，而对于不常见的特征，我们仍缺乏足够的观测以确定其最佳值。 换句话说，学习率要么对于常见特征而言降低太慢，要么对于不常见特征而言降低太快。 解决此问题的一个方法是记录我们看到特定特征的次数，然后将其用作调整学习率。 即我们可以使用大小为\ :math:`\eta_i = \frac{\eta_0}{\sqrt{s(i, t) + c}}`\ 的学习率，而不是\ :math:`\eta = \frac{\eta_0}{\sqrt{t + c}}`\ 。 在这里\ :math:`s(i, t)`\ 计下了我们截至\ :math:`t`\ 时观察到功能\ :math:`i`\ 的次数。 这其实很容易实施且不产生额外损耗。 AdaGrad算法 :cite:`Duchi.Hazan.Singer.2011`\ 通过将粗略的计数器\ :math:`s(i, t)`\ 替换为先前观察所得梯度的平方之和来解决这个问题。 它使用\ :math:`s(i, t+1) = s(i, t) + \left(\partial_i f(\mathbf{x})\right)^2`\ 来调整学习率。 这有两个好处：首先，我们不再需要决定梯度何时算足够大。 其次，它会随梯度的大小自动变化。通常对应于较大梯度的坐标会显著缩小，而其他梯度较小的坐标则会得到更平滑的处理。 在实际应用中，它促成了计算广告学及其相关问题中非常有效的优化程序。 但是，它遮盖了AdaGrad固有的一些额外优势，这些优势在预处理环境中很容易被理解。 预处理 ------ 凸优化问题有助于分析算法的特点。 毕竟对于大多数非凸问题来说，获得有意义的理论保证很难，但是直觉和洞察往往会延续。 让我们来看看最小化\ :math:`f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \mathbf{x}^\top \mathbf{Q} \mathbf{x} + \mathbf{c}^\top \mathbf{x} + b`\ 这一问题。 正如在 :numref:`sec_momentum`\ 中那样，我们可以根据其特征分解\ :math:`\mathbf{Q} = \mathbf{U}^\top \boldsymbol{\Lambda} \mathbf{U}`\ 重写这个问题，来得到一个简化得多的问题，使每个坐标都可以单独解出： .. math:: f(\mathbf{x}) = \bar{f}(\bar{\mathbf{x}}) = \frac{1}{2} \bar{\mathbf{x}}^\top \boldsymbol{\Lambda} \bar{\mathbf{x}} + \bar{\mathbf{c}}^\top \bar{\mathbf{x}} + b. 在这里我们使用了\ :math:`\mathbf{x} = \mathbf{U} \mathbf{x}`\ ，且因此\ :math:`\mathbf{c} = \mathbf{U} \mathbf{c}`\ 。 修改后优化器为\ :math:`\bar{\mathbf{x}} = -\boldsymbol{\Lambda}^{-1} \bar{\mathbf{c}}`\ 且最小值为\ :math:`-\frac{1}{2} \bar{\mathbf{c}}^\top \boldsymbol{\Lambda}^{-1} \bar{\mathbf{c}} + b`\ 。 这样更容易计算，因为\ :math:`\boldsymbol{\Lambda}`\ 是一个包含\ :math:`\mathbf{Q}`\ 特征值的对角矩阵。 如果稍微扰动\ :math:`\mathbf{c}`\ ，我们会期望在\ :math:`f`\ 的最小化器中只产生微小的变化。 遗憾的是，情况并非如此。 虽然\ :math:`\mathbf{c}`\ 的微小变化导致了\ :math:`\bar{\mathbf{c}}`\ 同样的微小变化，但\ :math:`f`\ 的（以及\ :math:`\bar{f}`\ 的）最小化器并非如此。 每当特征值\ :math:`\boldsymbol{\Lambda}_i`\ 很大时，我们只会看到\ :math:`\bar{x}_i`\ 和\ :math:`\bar{f}`\ 的最小值发声微小变化。 相反，对于小的\ :math:`\boldsymbol{\Lambda}_i`\ 来说，\ :math:`\bar{x}_i`\ 的变化可能是剧烈的。 最大和最小的特征值之比称为优化问题的\ *条件数*\ （condition number）。 .. math:: \kappa = \frac{\boldsymbol{\Lambda}_1}{\boldsymbol{\Lambda}_d}. 如果条件编号\ :math:`\kappa`\ 很大，准确解决优化问题就会很难。 我们需要确保在获取大量动态的特征值范围时足够谨慎：我们不能简单地通过扭曲空间来“修复”这个问题，从而使所有特征值都是\ :math:`1`\ ？ 理论上这很容易：我们只需要\ :math:`\mathbf{Q}`\ 的特征值和特征向量即可将问题从\ :math:`\mathbf{x}`\ 整理到\ :math:`\mathbf{z} := \boldsymbol{\Lambda}^{\frac{1}{2}} \mathbf{U} \mathbf{x}`\ 中的一个。 在新的坐标系中，\ :math:`\mathbf{x}^\top \mathbf{Q} \mathbf{x}`\ 可以被简化为\ :math:`\|\mathbf{z}\|^2`\ 。 可惜，这是一个相当不切实际的想法。 一般而言，计算特征值和特征向量要比解决实际问题“贵”得多。 虽然准确计算特征值可能会很昂贵，但即便只是大致猜测并计算它们，也可能已经比不做任何事情好得多。 特别是，我们可以使用\ :math:`\mathbf{Q}`\ 的对角线条目并相应地重新缩放它。 这比计算特征值开销小的多。 .. math:: \tilde{\mathbf{Q}} = \mathrm{diag}^{-\frac{1}{2}}(\mathbf{Q}) \mathbf{Q} \mathrm{diag}^{-\frac{1}{2}}(\mathbf{Q}). 在这种情况下，我们得到了\ :math:`\tilde{\mathbf{Q}}_{ij} = \mathbf{Q}_{ij} / \sqrt{\mathbf{Q}_{ii} \mathbf{Q}_{jj}}`\ ，特别注意对于所有\ :math:`i`\ ，\ :math:`\tilde{\mathbf{Q}}_{ii} = 1`\ 。 在大多数情况下，这大大简化了条件数。 例如我们之前讨论的案例，它将完全消除眼下的问题，因为问题是轴对齐的。 遗憾的是，我们还面临另一个问题：在深度学习中，我们通常情况甚至无法计算目标函数的二阶导数：对于\ :math:`\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d`\ ，即使只在小批量上，二阶导数可能也需要\ :math:`\mathcal{O}(d^2)`\ 空间来计算，导致几乎不可行。 AdaGrad算法巧妙的思路是，使用一个代理来表示黑塞矩阵（Hessian）的对角线，既相对易于计算又高效。 为了了解它是如何生效的，让我们来看看\ :math:`\bar{f}(\bar{\mathbf{x}})`\ 。 我们有 .. math:: \partial_{\bar{\mathbf{x}}} \bar{f}(\bar{\mathbf{x}}) = \boldsymbol{\Lambda} \bar{\mathbf{x}} + \bar{\mathbf{c}} = \boldsymbol{\Lambda} \left(\bar{\mathbf{x}} - \bar{\mathbf{x}}_0\right), 其中\ :math:`\bar{\mathbf{x}}_0`\ 是\ :math:`\bar{f}`\ 的优化器。 因此，梯度的大小取决于\ :math:`\boldsymbol{\Lambda}`\ 和与最佳值的差值。 如果\ :math:`\bar{\mathbf{x}} - \bar{\mathbf{x}}_0`\ 没有改变，那这就是我们所求的。 毕竟在这种情况下，梯度\ :math:`\partial_{\bar{\mathbf{x}}} \bar{f}(\bar{\mathbf{x}})`\ 的大小就足够了。 由于AdaGrad算法是一种随机梯度下降算法，所以即使是在最佳值中，我们也会看到具有非零方差的梯度。 因此，我们可以放心地使用梯度的方差作为黑塞矩阵比例的廉价替代。 详尽的分析（要花几页解释）超出了本节的范围，请读者参考 :cite:`Duchi.Hazan.Singer.2011`\ 。 算法 ---- 让我们接着上面正式开始讨论。 我们使用变量\ :math:`\mathbf{s}_t`\ 来累加过去的梯度方差，如下所示： .. math:: \begin{aligned} \mathbf{g}_t & = \partial_{\mathbf{w}} l(y_t, f(\mathbf{x}_t, \mathbf{w})), \\ \mathbf{s}_t & = \mathbf{s}_{t-1} + \mathbf{g}_t^2, \\ \mathbf{w}_t & = \mathbf{w}_{t-1} - \frac{\eta}{\sqrt{\mathbf{s}_t + \epsilon}} \cdot \mathbf{g}_t. \end{aligned} 在这里，操作是按照坐标顺序应用。 也就是说，\ :math:`\mathbf{v}^2`\ 有条目\ :math:`v_i^2`\ 。 同样，\ :math:`\frac{1}{\sqrt{v}}`\ 有条目\ :math:`\frac{1}{\sqrt{v_i}}`\ ， 并且\ :math:`\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}`\ 有条目\ :math:`u_i v_i`\ 。 与之前一样，\ :math:`\eta`\ 是学习率，\ :math:`\epsilon`\ 是一个为维持数值稳定性而添加的常数，用来确保我们不会除以\ :math:`0`\ 。 最后，我们初始化\ :math:`\mathbf{s}_0 = \mathbf{0}`\ 。 就像在动量法中我们需要跟踪一个辅助变量一样，在AdaGrad算法中，我们允许每个坐标有单独的学习率。 与SGD算法相比，这并没有明显增加AdaGrad的计算代价，因为主要计算用在\ :math:`l(y_t, f(\mathbf{x}_t, \mathbf{w}))`\ 及其导数。 请注意，在\ :math:`\mathbf{s}_t`\ 中累加平方梯度意味着\ :math:`\mathbf{s}_t`\ 基本上以线性速率增长（由于梯度从最初开始衰减，实际上比线性慢一些）。 这产生了一个学习率\ :math:`\mathcal{O}(t^{-\frac{1}{2}})`\ ，但是在单个坐标的层面上进行了调整。 对于凸问题，这完全足够了。 然而，在深度学习中，我们可能希望更慢地降低学习率。 这引出了许多AdaGrad算法的变体，我们将在后续章节中讨论它们。 眼下让我们先看看它在二次凸问题中的表现如何。 我们仍然同一函数为例： .. math:: f(\mathbf{x}) = 0.1 x_1^2 + 2 x_2^2. 我们将使用与之前相同的学习率来实现AdaGrad算法，即\ :math:`\eta = 0.4`\ 。 可以看到，自变量的迭代轨迹较平滑。 但由于\ :math:`\boldsymbol{s}_t`\ 的累加效果使学习率不断衰减，自变量在迭代后期的移动幅度较小。 .. code:: java %load ../utils/djl-imports %load ../utils/plot-utils %load ../utils/Functions.java %load ../utils/GradDescUtils.java %load ../utils/Accumulator.java %load ../utils/StopWatch.java %load ../utils/Training.java %load ../utils/TrainingChapter11.java .. code:: java float eta = 0.4f; Function adagrad2d = (state) -> { Float x1 = state[0], x2 = state[1], s1 = state[2], s2 = state[3]; float eps = (float) 1e-6; float g1 = 0.2f * x1; float g2 = 4 * x2; s1 += g1 * g1; s2 += g2 * g2; x1 -= eta / (float) Math.sqrt(s1 + eps) * g1; x2 -= eta / (float) Math.sqrt(s2 + eps) * g2; return new Float[]{x1, x2, s1, s2}; }; BiFunction f2d = (x1, x2) -> 0.1f * x1 * x1 + 2 * x2 * x2; GradDescUtils.showTrace2d(f2d, GradDescUtils.train2d(adagrad2d, 20)); .. parsed-literal:: :class: output Tablesaw not supporting for contour and meshgrids, will update soon 我们将学习率提高到\ :math:`2`\ ，可以看到更好的表现。 这已经表明，即使在无噪声的情况下，学习率的降低可能相当剧烈，我们需要确保参数能够适当地收敛。 .. code:: java eta = 2; GradDescUtils.showTrace2d(f2d, GradDescUtils.train2d(adagrad2d, 20)); .. parsed-literal:: :class: output Tablesaw not supporting for contour and meshgrids, will update soon 从零开始实现 ------------ 同动量法一样，AdaGrad算法需要对每个自变量维护同它一样形状的状态变量。 .. code:: java NDList initAdagradStates(int featureDimension) { NDManager manager = NDManager.newBaseManager(); NDArray sW = manager.zeros(new Shape(featureDimension, 1)); NDArray sB = manager.zeros(new Shape(1)); return new NDList(sW, sB); } public class Optimization { public static void adagrad(NDList params, NDList states, Map hyperparams) { float eps = (float) 1e-6; for (int i = 0; i < params.size(); i++) { NDArray param = params.get(i); NDArray state = states.get(i); // Update param state.addi(param.getGradient().square()); param.subi(param.getGradient().mul(hyperparams.get("lr")).div(state.add(eps).sqrt())); } } } 与 :numref:`sec_minibatch_sgd`\ 一节中的实验相比，这里使用更大的学习率来训练模型。 .. code:: java AirfoilRandomAccess airfoil = TrainingChapter11.getDataCh11(10, 1500); public TrainingChapter11.LossTime trainAdagrad(float lr, int numEpochs) throws IOException, TranslateException { int featureDimension = airfoil.getColumnNames().size(); Map hyperparams = new HashMap<>(); hyperparams.put("lr", lr); return TrainingChapter11.trainCh11(Optimization::adagrad, initAdagradStates(featureDimension), hyperparams, airfoil, featureDimension, numEpochs); } TrainingChapter11.LossTime lossTime = trainAdagrad(0.1f, 2); .. parsed-literal:: :class: output loss: 0.243, 0.084 sec/epoch 简洁实现 -------- 我们可直接使用深度学习框架中提供的AdaGrad算法来训练模型。 .. code:: java Tracker lrt = Tracker.fixed(0.1f); Optimizer adagrad = Optimizer.adagrad().optLearningRateTracker(lrt).build(); TrainingChapter11.trainConciseCh11(adagrad, airfoil, 2); .. parsed-literal:: :class: output INFO Training on: 1 GPUs. INFO Load MXNet Engine Version 1.9.0 in 0.065 ms. .. parsed-literal:: :class: output Training: 100% |████████████████████████████████████████| Accuracy: 1.00, L2Loss: 0.26 loss: 0.244, 0.167 sec/epoch 小结 ---- - AdaGrad算法会在单个坐标层面动态降低学习率。 - AdaGrad算法利用梯度的大小作为调整进度速率的手段：用较小的学习率来补偿带有较大梯度的坐标。 - 在深度学习问题中，由于内存和计算限制，计算准确的二阶导数通常是不可行的。梯度可以作为一个有效的代理。 - 如果优化问题的结构相当不均匀，AdaGrad算法可以帮助缓解扭曲。 - AdaGrad算法对于稀疏特征特别有效，在此情况下由于不常出现的问题，学习率需要更慢地降低。 - 在深度学习问题上，AdaGrad算法有时在降低学习率方面可能过于剧烈。我们将在 :numref:`sec_adam`\ 一节讨论缓解这种情况的策略。 练习 ---- 1. 证明对于正交矩阵\ :math:`\mathbf{U}`\ 和向量\ :math:`\mathbf{c}`\ ，以下等式成立：\ :math:`\|\mathbf{c} - \mathbf{\delta}\|_2 = \|\mathbf{U} \mathbf{c} - \mathbf{U} \mathbf{\delta}\|_2`\ 。为什么这意味着在变量的正交变化之后，扰动的程度不会改变？ 2. 尝试对函数\ :math:`f(\mathbf{x}) = 0.1 x_1^2 + 2 x_2^2`\ 、以及它旋转45度后的函数即\ :math:`f(\mathbf{x}) = 0.1 (x_1 + x_2)^2 + 2 (x_1 - x_2)^2`\ 使用AdaGrad算法。它的表现会不同吗？ 3. 证明\ `格什戈林圆盘定理 `__\ ，其中提到，矩阵\ :math:`\mathbf{M}`\ 的特征值\ :math:`\lambda_i`\ 在至少一个\ :math:`j`\ 的选项中满足\ :math:`|\lambda_i - \mathbf{M}_{jj}| \leq \sum_{k \neq j} |\mathbf{M}_{jk}|`\ 的要求。 4. 关于对角线预处理矩阵\ :math:`\mathrm{diag}^{-\frac{1}{2}}(\mathbf{M}) \mathbf{M} \mathrm{diag}^{-\frac{1}{2}}(\mathbf{M})`\ 的特征值，格什戈林的定理告诉了我们什么？ 5. 尝试对适当的深度网络使用AdaGrad算法，例如，当应用于时尚MNIST时，使用 :numref:`sec_lenet`\ 。 6. 你要如何修改AdaGrad算法，才能使其在学习率方面的衰减不那么激进？