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3.4. Softmax回归

在 Section 3.1 中我们介绍了线性回归。随后，在 Section 3.2 中我们从头实现了线性回归。然后在 Section 3.3 中我们使用DJL来完成繁重的工作。

回归可以用于预测 多少 的问题。比如预测房屋被售出价格，或者棒球队可能获得的胜利数，又或者患者住院的天数。

事实上，我们经常对 分类 感兴趣：不是问“多少”，而是问“哪一个”：

• 该电子邮件是否属于垃圾邮件文件夹？

• 该用户可能 注册 或 不注册 订阅服务？

• 该图像描绘的是驴、狗、猫、还是鸡？

• 韩梅梅接下来最有可能看哪部电影？

通常，机器学习实践者用分类这个词来描述两个有微妙差别的问题： （1）我们只对样本的硬性类别感兴趣，即属于哪个类别；（2）我们希望得到软性类别，即得到属于每个类别的概率。这两者的界限往往很模糊。其中的一个原因是，即使我们只关心硬类别，我们仍然使用软类别的模型。

3.4.1. 分类问题

让我们从一个图像分类问题开始简单尝试一下。每次输入是一个 \(2\times2\) 的灰度图像。我们可以用一个标量表示每个像素值，每个图像对应四个特征 \(x_1, x_2, x_3, x_4\)。此外，让我们假设每个图像属于类别 “猫”，“鸡” 和 “狗” 中的一个。

接下来，我们要选择如何表示标签。我们有两个明显的选择。也许最直接的想法是选择 \(y \in \{1, 2, 3\}\)，其中整数分别代表 \(\{\text{狗}, \text{猫}, \text{鸡}\}\)。这是在计算机上存储此类信息的好方法。如果类别间有一些自然顺序，比如说我们试图预测 \(\{\text{婴儿}, \text{儿童}, \text{青少年}, \text{青年人}, \text{中年人}, \text{老年人}\}\)，那么将这个问题转变为回归问题并保留这种格式是有意义的。

但是，一般的分类问题并不与类别之间的自然顺序有关。幸运的是，统计学家很早以前就发明了一种表示分类数据的简单方法：独热编码（one-hot encoding）。独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。类别对应的分量设置为1，其他所有分量设置为0。 在我们的例子中，标签 \(y\) 将是一个三维向量，其中 \((1, 0, 0)\) 对应于 “猫”、\((0, 1, 0)\) 对应于 “鸡”、\((0, 0, 1)\) 对应于 “狗”：

(3.4.1)\[y \in \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}.\]

3.4.2. 网络结构

为了估计所有可能类别的条件概率，我们需要一个有多个输出的模型，每个类别对应一个输出。 为了解决线性模型的分类问题，我们需要和输出一样多的仿射函数（affine function）。 每个输出对应于它自己的仿射函数。 在我们的例子中，由于我们有4个特征和3个可能的输出类别，我们将需要12个标量来表示权重（带下标的\(w\)），3个标量来表示偏置（带下标的\(b\)）。 下面我们为每个输入计算三个未归一化的预测（logits）：\(o_1\)、\(o_2\)和\(o_3\)。

(3.4.2)\[\begin{split}\begin{aligned} o_1 &= x_1 w_{11} + x_2 w_{12} + x_3 w_{13} + x_4 w_{14} + b_1,\\ o_2 &= x_1 w_{21} + x_2 w_{22} + x_3 w_{23} + x_4 w_{24} + b_2,\\ o_3 &= x_1 w_{31} + x_2 w_{32} + x_3 w_{33} + x_4 w_{34} + b_3. \end{aligned}\end{split}\]

我们可以用神经网络图 fig_softmaxreg 来描述这个计算过程。 与线性回归一样，softmax回归也是一个单层神经网络。由于计算每个输出\(o_1\)、\(o_2\)和\(o_3\)取决于所有输入\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)和\(x_4\)，所以softmax回归的输出层也是全连接层。

.. _fig_softmaxreg:

为了更简洁地表达模型，我们仍然使用线性代数符号。 通过向量形式表达为 \(\mathbf{o} = \mathbf{W} \mathbf{x} + \mathbf{b}\)，这是一种更适合数学和编写代码的形式。我们已经将所有权重放到一个 \(3 \times 4\) 矩阵中。对于给定数据样本的特征 \(\mathbf{x}\)，我们的输出是由权重与输入特征进行矩阵-向量乘法再加上偏置\(\mathbf{b}\)得到的。

3.4.3. 全连接层的参数开销

正如我们将在后续章节中看到的，在深度学习中，全连接层无处不在。 然而，顾名思义，全连接层是“完全”连接的，可能有很多可学习的参数。 具体来说，对于任何具有\(d\)个输入和\(q\)个输出的全连接层，参数开销为\(\mathcal{O}(dq)\)，在实践中可能高得令人望而却步。 幸运的是，将\(d\)个输入转换为\(q\)个输出的成本可以减少到\(\mathcal{O}(\frac{dq}{n})\)，其中超参数\(n\)可以由我们灵活指定，以在实际应用中平衡参数节约和模型有效性 [Zhang.Tay.Zhang.ea.2021] 。

3.4.4. softmax运算

在这里要采取的主要方法是将模型的输出视作为概率。我们将优化参数以最大化观测数据的概率。为了得到预测结果，我们将设置一个阈值，如选择具有最大概率的标签。

我们希望模型的输出 \(\hat{y}_j\) 可以视为属于类 \(j\) 的概率。然后我们可以选择具有最大输出值的类别\(\operatorname*{argmax}_j y_j\)作为我们的预测。例如，如果 \(\hat{y}_1\)、\(\hat{y}_2\) 和 \(\hat{y}_3\) 分别为 0.1、0.8 和 0.1，那么我们预测的类别是2，在我们的例子中代表 “鸡”。

你可能会想能否将未归一化的预测 \(o\) 直接视作我们感兴趣的输出。但是，将线性层的输出直接视为概率时存在一些问题：一方面，没有限制这些数字的总和为1。另一方面，根据输入的不同，它们可以为负值。这些违反了 Section 2.6 中所说的概率基本公理。

要将输出视为概率，我们必须保证在任何数据上的输出都是非负的且总和为1。此外，我们需要一个训练目标，来鼓励模型精准地估计概率。在分类器输出0.5的所有样本中，我们希望这些样本有一半实际上属于预测的类。 这个属性叫做校准（calibration）。

社会科学家邓肯·卢斯于1959年在选择模型（choice models）的背景下发明的softmax函数正是这样做的。 为了将未归一化的预测变换为非负并且总和为1，同时要求模型保持可导。我们首先对每个未归一化的预测求幂，这样可以确保输出非负。为了确保最终输出的总和为1，我们再对每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：

(3.4.3)\[\hat{\mathbf{y}} = \mathrm{softmax}(\mathbf{o})\quad \text{其中}\quad \hat{y}_j = \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)}\]

容易看出对于所有的 \(j\) 总有 \(0 \leq \hat{y}_j \leq 1\)。因此，\(\hat{\mathbf{y}}\) 可以视为一个正确的概率分布。softmax 运算不会改变未归一化的预测 \(\mathbf{o}\) 之间的顺序，只会确定分配给每个类别的概率。因此，在预测过程中，我们仍然可以用下式来选择最有可能的类别。

(3.4.4)\[\operatorname*{argmax}_j \hat y_j = \operatorname*{argmax}_j o_j.\]

尽管softmax是一个非线性函数，但softmax回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。因此，softmax回归是一个线性模型。

3.4.5. 小批量样本的矢量化

为了提高计算效率并且充分利用GPU，我们通常会针对小批量数据执行矢量计算。假设我们读取了一个批量的样本 \(\mathbf{X}\) ，其中特征维度（输入数量）为\(d\)，批量大小为\(n\)。此外，假设我们在输出中有 \(q\) 个类别。那么小批量特征为 \(\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}\) ，权重为 \(\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{d \times q}\)，偏置为 \(\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{1\times q}\)。softmax回归的矢量计算表达式为：

(3.4.5)\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{O} &= \mathbf{X} \mathbf{W} + \mathbf{b}, \\ \hat{\mathbf{Y}} & = \mathrm{softmax}(\mathbf{O}). \end{aligned}\end{split}\]

相对于一次处理一个样本，小批量样本的矢量化加快了 \(\mathbf{X}和\mathbf{W}\) 的矩阵-向量乘法。由于 \(\mathbf{X}\) 中的每一行代表一个数据样本，所以softmax运算可以按行（rowwise）执行：对于\(\mathbf{O}\)的每一行，我们先对所有项进行幂运算，然后通过求和对它们进行标准化。 在 (3.4.5) 中 \(\mathbf{X} \mathbf{W} + \mathbf{b}\) 的求和会使用广播，小批量的未归一化预测 \(\mathbf{O}\) 和输出概率 \(\hat{\mathbf{Y}}\) 都是形状为 \(n \times q\) 的矩阵。

3.4.6. 损失函数

接下来，我们需要一个损失函数来度量预测概率的效果。我们将依赖最大似然估计，这与我们在为线性回归（ Section 3.1.3 ）中的均方误差目标提供概率证明时遇到的概念完全相同。

3.4.6.1. 对数似然

softmax函数给出了一个向量 \(\hat{\mathbf{y}}\)，我们可以将其视为给定任意输入 \(\mathbf{x}\)的每个类的估计条件概率。例如，\(\hat{y}_1\) = \(P(y=\text{猫} \mid \mathbf{x})\)。假设整个数据集 \(\{\mathbf{X}, \mathbf{Y}\}\) 具有 \(n\) 个样本，其中索引 \(i\) 的样本由特征向量 \(\mathbf{x}^{(i)}\) 和独热标签向量 \(\mathbf{y}^{(i)}\) 组成。我们可以将估计值与实际值进行比较：

(3.4.6)\[P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X}) = \prod_{i=1}^n P(\mathbf{y}^{(i)} \mid \mathbf{x}^{(i)}).\]

根据最大似然估计，我们最大化 \(P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X})\)，相当于最小化负对数似然：

(3.4.7)\[-\log P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n -\log P(\mathbf{y}^{(i)} \mid \mathbf{x}^{(i)}) = \sum_{i=1}^n l(\mathbf{y}^{(i)}, \hat{\mathbf{y}}^{(i)}),\]

其中，对于任何标签 \(\mathbf{y}\) 和模型预测 \(\hat{\mathbf{y}}\)，损失函数为：

(3.4.8)\[l(\mathbf{y}, \hat{\mathbf{y}}) = - \sum_{j=1}^q y_j \log \hat{y}_j.\]

在本节稍后的内容会讲到， (3.4.8) 中的损失函数通常被称为 交叉熵损失（cross-entropy loss）。由于 \(\mathbf{y}\) 是一个长度为 \(q\) 的独热编码向量，所以除了一个项以外的所有项 \(j\) 都消失了。由于所有 \(\hat{y}_j\) 都是预测的概率，所以它们的对数永远不会大于 \(0\)。 因此，如果正确地预测实际标签，即，如果实际标签 \(P(\mathbf{y} \mid \mathbf{x})=1\)，则损失函数不能进一步最小化。 注意，这往往是不可能的。例如，数据集中可能存在标签噪声（某些样本可能被误标），或输入特征没有足够的信息来完美地对每一个样本分类。

3.4.6.2. softmax及其导数

由于softmax和相关的损失函数很常见，因此值得我们更好地理解它的计算方式。将 (3.4.3) 代入损失 (3.4.8) 中。利用softmax的定义，我们得到：

(3.4.9)\[\begin{split}\begin{aligned} l(\mathbf{y}, \hat{\mathbf{y}}) &= - \sum_{j=1}^q y_j \log \frac{\exp(o_j)}{\sum_{k=1}^q \exp(o_k)} \\ &= \sum_{j=1}^q y_j \log \sum_{k=1}^q \exp(o_k) - \sum_{j=1}^q y_j o_j\\ &= \log \sum_{k=1}^q \exp(o_k) - \sum_{j=1}^q y_j o_j. \end{aligned}\end{split}\]

为了更好地理解发生了什么，考虑相对于任何未归一化的预测 \(o_j\) 的导数。我们得到：

(3.4.10)\[\partial_{o_j} l(\mathbf{y}, \hat{\mathbf{y}}) = \frac{\exp(o_j)}{\sum_{k=1}^q \exp(o_k)} - y_j = \mathrm{softmax}(\mathbf{o})_j - y_j.\]

换句话说，导数是我们模型分配的概率（由softmax得到）与实际发生的情况（由独热标签向量表示）之间的差异。从这个意义上讲，与我们在回归中看到的非常相似，其中梯度是观测值\(y\)和估计值\(\hat{y}\)之间的差异。这不是巧合，在任何指数族分布（参见 关于分布的在线附录）模型中，对数似然的梯度正是由这给出的。这使梯度计算在实践中变得容易。

3.4.6.3. 交叉熵损失

现在考虑这样一个例子：我们观察到的不仅仅是一个结果，而是整个结果分布。对于标签 \(\mathbf{y}\)，我们可以使用与以前相同的表示形式。唯一的区别是，我们现在用一个概率向量表示，如\((0.1, 0.2, 0.7)\)，而不是仅包含二元项的向量\((0, 0, 1)\)。我们使用 (3.4.8) 来定义损失 \(l\)。它是所有标签分布的预期损失值。此损失称为 交叉熵损失（cross-entropy loss），它是分类问题最常用的损失之一。我们将通过介绍信息论的基础来理解这个名字。如果你想了解更多信息论细节，你可以进一步参考 信息论的在线附录。

3.4.7. 信息论基础

信息论 涉及编码、解码、发送以及尽可能简洁地处理信息或数据。

3.4.7.1. 熵

信息论的核心思想是量化数据中的信息内容，在信息论中，该数值被称为分布\(P\) 的 熵（entropy）。可以通过以下方程得到：

(3.4.11)\[H[P] = \sum_j - P(j) \log P(j).\]

信息论的基本定理之一指出，为了对从分布 \(p\) 中随机抽取的数据进行编码，我们至少需要 \(H[P]\) “纳特（nat）” 对其进行编码。“纳特”相当于位，但是对数底为\(e\)而不是2。因此，一个纳特是 \(\frac{1}{\log(2)} \approx 1.44\) 位。

3.4.7.2. 惊异

你可能想知道压缩与预测有什么关系。想象一下，我们有一个要压缩的数据流。如果我们总是很容易预测下一个数据，那么这个数据很容易压缩！举一个极端的例子，数据流中的每个数据总是采用相同的值。这是一个非常无聊的数据流！由于它们总是相同的，所以很容易被预测，所以我们为了传递数据流的内容不必传输任何信息。当数据易于预测，也就易于压缩。

但是，如果我们不能完全预测每一个事件，那么我们有时可能会感到惊异。当我们赋予一个事件较低的概率时，我们的惊异会更大。克劳德·香农决定用 \(\log \frac{1}{P(j)} = -\log P(j)\)来量化一个人的 惊异（surprisal）。在观察一个事件 \(j\)，并赋予它（主观）概率 \(P(j)\)。在 (3.4.11) 中定义的熵是当分配的概率真正匹配数据生成过程时的预期惊异（expected surprisal）。

3.4.7.3. 重新审视交叉熵

所以，如果熵是知道真实概率的人所经历的惊异程度，那么你可能会想知道，什么是交叉熵？ 交叉熵 从 \(P\) 到 \(Q\)，记为 \(H(P, Q)\)，是主观概率为\(Q\)的观察者在看到根据概率\(P\)实际生成的数据时的预期惊异。当\(P=Q\)时，交叉熵达到最低。在这种情况下，从 \(P\)到\(Q\) 的交叉熵是 \(H(P, P)= H(P)\)。

简而言之，我们可以从两方面来考虑交叉熵分类目标：（i）最大化观测数据的似然；（ii）尽量减少我们的惊异所需的通讯量。

3.4.8. 模型预测和评估

在训练softmax回归模型后，给出任何样本特征，我们可以预测每个输出类别的概率。通常我们使用预测概率最高的类别作为输出类别。如果预测与实际类别（标签）一致，则预测是正确的。在接下来的实验中，我们将使用 准确率 来评估模型的性能。准确率等于正确预测数与预测的总数之间的比率。

3.4.9. 小结

• softmax运算获取一个向量并将其映射为概率。

• softmax回归适用于分类问题。它使用了softmax运算中输出类别的概率分布。

• 交叉熵是一个衡量两个概率分布之间差异的很好的度量。它测量给定模型编码数据所需的比特数。

3.4.10. 练习

1. 我们可以更深入地探讨指数族与 softmax 之间的联系。

   1. 计算softmax交叉熵损失 \(l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})\) 的二阶导数。

   2. 计算 \(\mathrm{softmax}(\mathbf{o})\) 给出的分布方差，并与上面计算的二阶导数匹配。

2. 假设我们有三个类发生的概率相等，即概率向量是 \((\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})\)。

   1. 如果我们尝试为它设计二进制代码，有什么问题？

   2. 你能设计一个更好的代码吗？提示：如果我们尝试编码两个独立的观察结果会发生什么？如果我们联合编码 \(n\) 个观测值怎么办？

3. softmax是对上面介绍的映射的误用(但深度学习中的每个人都使用它)。真正的softmax被定义为 \(\mathrm{RealSoftMax}(a, b) = \log (\exp(a) + \exp(b))\)。

   1. 证明 \(\mathrm{RealSoftMax}(a, b) > \mathrm{max}(a, b)\)。

   2. 证明 \(\lambda^{-1} \mathrm{RealSoftMax}(\lambda a, \lambda b) > \mathrm{max}(a, b)\)成立，前提是 \(\lambda > 0\)。

   3. 证明对于 \(\lambda \to \infty\) ，有 \(\lambda^{-1} \mathrm{RealSoftMax}(\lambda a, \lambda b) \to \mathrm{max}(a, b)\)。

   4. soft-min会是什么样子？

   5. 将其扩展到两个以上的数字。