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3.1. 线性回归¶
回归（regression） 是指一类为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的方法。在自然科学和社会科学领域，回归经常用来表示输入和输出之间的关系。
在机器学习领域中的大多数任务通常都与预测（prediction）有关。 当我们想预测一个数值时，就会涉及到回归问题。常见的例子包括：预测价格（房屋、股票等）、预测住院时间（针对住院病人）、预测需求（零售销量）等。但不是所有的预测都是回归问题。在后面的章节中，我们将介绍分类问题。分类问题的目标是预测数据属于一组类别中的哪一个。
3.1.1. 线性回归的基本元素¶
线性回归 （linear regression）在回归的各种标准工具中最简单而且最流行。它可以追溯到19世纪初。线性回归基于几个简单的假设：首先，假设自变量 \(\mathbf{x}\) 和因变量 \(y\) 之间的关系是线性的，即\(y\)可以表示为 \(\mathbf{x}\) 中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声；其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。
为了解释线性回归，我们举一个实际的例子：我们希望根据房屋的面积（平方英尺）和房龄（年）来估算房屋价格（美元）。为了开发一个能预测房价的模型，我们需要收集一个真实的数据集。这个数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。在机器学习的术语中，该数据集称为 训练数据集（training data set）或训练集 （training set），每行数据（在这个例子中是与一次房屋交易相对应的数据）称为样本（sample），也可以称为数据点 （data point）或数据样本（data instance）。我们要试图预测的目标（在这个例子中是房屋价格）称为 标签（label）或 目标（target）。预测所依据的自变量（面积和房龄）称为 特征（features）或 协变量（covariates）。
通常，我们使用 \(n\) 来表示数据集中的样本数。对索引为 \(i\) 的样本，其输入表示为 \(\mathbf{x}^{(i)} = [x_1^{(i)}, x_2^{(i)}]^\top\)，其对应的标签是 \(y^{(i)}\)。
3.1.1.1. 线性模型¶
线性假设是指目标（房屋价格）可以表示为特征（面积和房龄）的加权和，如下面的式子：
(3.1.1) 中的\(w_{\mathrm{area}}\) 和 \(w_{\mathrm{age}}\) 称为 权重（weight），\(b\) 称为 偏置（bias），或称为偏移量（offset）、截距（intercept）。权重决定了每个特征对我们预测值的影响。偏置是指当所有特征都取值为0时，预测值应该为多少。即使现实中不会有任何房子的面积是0或房龄正好是0年，我们仍然需要偏置项。如果没有偏置项，我们模型的表达能力将受到限制。严格来说， (3.1.1) 是输入特征的一个仿射变换（affine transformation）。仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换（linear transformation），并通过偏置项来进行平移（translation）。
给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重 \(\mathbf{w}\) 和偏置 \(b\)，使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。输出的预测值由输入特征通过线性模型的仿射变换决定，仿射变换由所选权重和偏置确定。
有些学科往往只关注有少量特征的数据集。在这些学科中，建模时经常像这样通过长形式显式地表达。而在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。当我们的输入包含 \(d\) 个特征时，我们将预测结果 \(\hat{y}\)（通常使用 “尖角” 符号表示估计值）表示为：
将所有特征放到向量 \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d\) 中，并将所有权重放到向量 \(\mathbf{w} \in \mathbb{R}^d\) 中，我们可以用点积形式来简洁地表达模型：
在 (3.1.3) 中，向量 \(\mathbf{x}\) 对应于单个数据样本的特征。用符号表示的矩阵 \(\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}\) 可以很方便地引用我们整个数据集的 \(n\) 个样本。其中，\(\mathbf{X}\) 的每一行是一个样本，每一列是一种特征。
对于特征集合 \(\mathbf{X}\) ，预测值 \(\hat{\mathbf{y}} \in \mathbb{R}^n\) 可以通过矩阵-向量乘法表示为：
这个过程中的求和将使用广播机制（广播机制在
subsec_broadcasting 中有详细介绍）。 给定训练数据特征
\(\mathbf{X}\) 和对应的已知标签 \(\mathbf{y}\)
，线性回归的目标是找到一组权重向量 \(\mathbf{w}\) 和偏置
\(b\)。当给定从\(\mathbf{X}\)的同分布中取样的新样本特征时，找到的权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。
虽然我们相信给定 \(\mathbf{x}\) 预测 \(y\) 的最佳模型会是线性的，但我们很难找到一个有\(n\)个样本的真实数据集，其中对于所有的 \(1 \leq i \leq n\)， \(y^{(i)}\) 完全等于 \(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)}+b\)。无论我们使用什么手段来观察特征 \(\mathbf{X}\) 和标签 \(\mathbf{y}\) ，都可能会出现少量的观测误差。因此，即使确信特征与标签的潜在关系是线性的，我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。
在我们开始寻找最好的 模型参数（model parameters）\(\mathbf{w}\) 和 \(b\) 之前，我们还需要两个东西：（1）一种模型质量的度量方式；（2）一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。
3.1.1.2. 损失函数¶
在我们开始考虑如何用模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。损失函数 能够量化目标的实际值与预测 值之间的差距。通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。当样本 \(i\) 的预测值为 \(\hat{y}^{(i)}\)，其相应的真实标签为 \(y^{(i)}\) 时，平方误差可以定义为以下公式：
常数\(\frac{1}{2}\)不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些，表现为当我们对损失函数求导后常数系数为1。由于训练数据集并不受我们控制，所以经验误差只是关于模型参数的函数。为了进一步说明，来看下面的例子。我们为一维情况下的回归问题绘制图像，如
fig_fit_linreg 所示。
.. _fig_fit_linreg:
由于平方误差函数中的二次方项，估计值 \(\hat{y}^{(i)}\) 和观测值 \(y^{(i)}\) 之间较大的差异将贡献更大的损失。为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集\(n\)个样本上的损失均值（也等价于求和）。
在训练模型时，我们希望寻找一组参数 (\(\mathbf{w}^*, b^*\))，这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式：
3.1.1.3. 解析解¶
线性回归刚好是一个很简单的优化问题。与我们将在本书中所讲到的其他大部分模型不同，线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来，这类解叫作解析解（analytical solution）。首先，我们将偏置 \(b\) 合并到参数 \(\mathbf{w}\) 中。合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。我们的预测问题是最小化 \(\|\mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{w}\|^2\)。这在损失平面上只有一个临界点，这个临界点对应于整个区域的损失最小值。将损失关于\(\mathbf{w}\)的导数设为0，得到解析解（闭合形式）：
像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。解析解可以进行很好的数学分析，但解析解的限制很严格，导致它无法应用在深度学习里。
3.1.1.4. 小批量随机梯度下降¶
即使在我们无法得到解析解的情况下，我们仍然可以有效地训练模型。在许多任务上，那些难以优化的模型效果要更好。因此，弄清楚如何训练这些难以优化的模型是非常重要的。
本书中我们用到一种名为梯度下降（gradient descent）的方法，这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。
梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值）关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本，这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。
在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量\(\mathcal{B}\)，它是由固定数量的训练样本组成的。然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数\(\eta\)，并从当前参数的值中减掉。
我们用下面的数学公式来表示这一更新过程（\(\partial\) 表示偏导数）：
总结一下，算法的步骤如下：（1）初始化模型参数的值，如随机初始化；（2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。对于平方损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式:
公式 (3.1.10) 中的\(\mathbf{w}\) 和 \(\mathbf{x}\) 都是向量。在这里，更优雅的向量表示法比系数表示法（如 \(w_1, w_2, \ldots, w_d\)）更具可读性。 \(|\mathcal{B}|\) 表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size）。\(\eta\) 表示 学习率（learning rate）。批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为 超参数（hyperparameter）。 调参（hyperparameter tuning） 是选择超参数的过程。超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的，而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。
在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后），我们记录下模型参数的估计值，表示为\(\hat{\mathbf{w}}, \hat{b}\)。但是，即使我们的函数确实是线性的且无噪声，这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛，但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。
线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。但是对于像深度神经网络这样复杂的模型来说，损失平面上通常包含多个最小值。幸运的是，出于某种原因，深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数，使得在 训练集 上的损失达到最小。事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失，这一挑战被称为 泛化（generalization）。
3.1.1.5. 用学习到的模型进行预测¶
给定学习到的线性回归模型 \(\hat{\mathbf{w}}^\top \mathbf{x} + \hat{b}\)，现在我们可以通过给定的房屋面积 \(x_1\) 和房龄 \(x_2\)来估计一个未包含在训练数据中的新房屋价格。给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）。
我们将尝试坚持使用预测这个词。虽然推断这个词已经成为深度学习的标准术语，但其实推断这个词有些用词不当。在统计学中，推断更多地表示基于数据集估计参数。当深度学习从业者与统计学家交谈时，术语的误用经常导致一些误解。
3.1.2. 矢量化加速¶
在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。为了实现这一点，需要我们对计算进行矢量化，从而利用线性代数库，而不是在Java中编写开销高昂的for循环。
为了说明矢量化为什么如此重要，我们考虑(对向量相加的两种方法)。
我们实例化两个全1的10000维向量。在一种方法中，我们将使用Java的for循环遍历向量。在另一种方法中，我们将使
NDArray.add() 函数的调用。
由于在本书中我们将频繁地进行运行时间的基准测试，所以我们定义一个计时器类：StopWatch。为了避免重复，我们把这些常用的类库打包在
utils 目录下，然后用%load加载到 Jupyter 中。
%load ../utils/djl-imports
%load ../utils/plot-utils
%load ../utils/StopWatch.java
import java.util.stream.*;
int n = 10000;
NDManager manager = NDManager.newBaseManager();
NDArray a = manager.ones(new Shape(n));
NDArray b = manager.ones(new Shape(n));
现在我们可以对工作负载进行基准测试。首先，我们使用for循环，每次执行一位的加法。
NDArray c = manager.zeros(new Shape(n));
StopWatch stopWatch = new StopWatch();
for (int i = 0; i < n; i++) {
c.set(new NDIndex(i), a.getFloat(i) + b.getFloat(i));
}
String.format("%.5f sec", stopWatch.stop());
6.76111 sec
接下来，我们使用 NDArray.add() 运算符来计算按元素的和。
stopWatch.start();
NDArray d = a.add(b);
String.format("%.5f sec", stopWatch.stop());
0.05493 sec
结果很明显，第二种方法比第一种方法快得多。矢量化代码通常会带来数量级的加速。另外，我们将更多的数学运算放到库中，而无需自己编写那么多的计算，从而减少了出错的可能性。
3.1.3. 正态分布与平方损失¶
接下来，我们通过对噪声分布的假设来解读平方损失目标函数。
正态分布（normal distribution），也称为 高斯分布（Gaussian distribution），最早由德国数学家高斯（Gauss）应用于天文学研究。 正态分布和线性回归之间的关系很密切。 简单的说，若随机变量 \(x\) 具有均值 \(\mu\) 和方差 \(\sigma^2\)（标准差 \(\sigma\)），其正态分布概率密度函数如下：
下面我们定义一个Java函数来计算正态分布。
public float[] normal(float[] z, float mu, float sigma) {
float[] dist = new float[z.length];
for (int i = 0; i < z.length; i++) {
float p = 1.0f / (float) Math.sqrt(2 * Math.PI * sigma * sigma);
dist[i] = p * (float) Math.pow(Math.E, -0.5 / (sigma * sigma) * (z[i] - mu) * (z[i] - mu));
}
return dist;
}
我们现在可视化正态分布。
int start = -7;
int end = 14;
float step = 0.01f;
int count = (int) (end / step);
float[] x = new float[count];
for (int i = 0; i < count; i++) {
x[i] = start + i * step;
}
import org.apache.commons.lang3.ArrayUtils;
public float[] combine3(float[] x, float[] y, float[] z) {
return ArrayUtils.addAll(ArrayUtils.addAll(x, y), z);
}
float[] y1 = normal(x, 0, 1);
float[] y2 = normal(x, 0, 2);
float[] y3 = normal(x, 3, 1);
String[] params = new String[x.length * 3];
Arrays.fill(params, 0, x.length, "mean 0, var 1");
Arrays.fill(params, x.length, x.length * 2, "mean 0, var 2");
Arrays.fill(params, x.length * 2, x.length * 3, "mean 3, var 1");
Table normalDistributions = Table.create("normal")
.addColumns(
FloatColumn.create("z", combine3(x, x, x)),
FloatColumn.create("p(z)", combine3(y1, y2, y3)),
StringColumn.create("params", params)
);
LinePlot.create("Normal Distributions", normalDistributions, "z", "p(z)", "params");
就像我们所看到的，改变均值会产生沿 \(x\) 轴的偏移，增加方差将会分散分布、降低其峰值。
均方误差损失函数（简称均方损失）可以用于线性回归的一个原因是：我们假设了观测中包含噪声，其中噪声服从正态分布。噪声正态分布如下式:
因此，我们现在可以写出通过给定的\(\mathbf{x}\)观测到特定\(y\)的可能性（likelihood）：
现在，根据最大似然估计法，参数 \(\mathbf{w}\) 和 \(b\) 的最优值是使整个数据集的可能性最大的值：
根据最大似然估计法选择的估计量称为最大似然估计量 。 虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难，但是我们可以在不改变目标的前提下，通过最大化似然对数来简化。 由于历史原因，优化通常是说最小化而不是最大化。我们可以改为 最小化负对数似然 \(-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)\)。由此可以得到的数学公式是：
现在我们只需要假设\(\sigma\)是某个固定常数就可以忽略第一项，因为第一项不依赖于 \(\mathbf{w}\)和\(b\)。现在第二项除了常数\(\frac{1}{\sigma^2}\)外，其余部分和前面介绍的平方误差损失是一样的。 幸运的是，上面式子的解并不依赖于 \(\sigma\)。因此，在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的最大似然估计。
3.1.4. 从线性回归到深度网络¶
到目前为止，我们只谈论了线性模型。 尽管神经网络涵盖了更多更为丰富的模型，我们依然可以用描述神经网络的方式来描述线性模型，从而把线性模型看作一个神经网络。 首先，让我们用“层”符号来重写这个模型。
3.1.4.1. 神经网络图¶
深度学习从业者喜欢绘制图表来可视化模型中正在发生的事情。 在
fig_single_neuron 中，我们将线性回归模型描述为一个神经网络。
需要注意的是，该图只显示连接模式，即只显示每个输入如何连接到输出，隐去了权重和偏置的值。
.. _fig_single_neuron:
在 fig_single_neuron 所示的神经网络中，输入为
\(x_1, \ldots, x_d\)，因此输入层中的 输入数（或称为 特征维度
feature dimensionality）为
\(d\)。网络的输出为\(o_1\)，因此输出层中的 输出数 是
1。需要注意的是，输入值都是已经给定的，并且只有一个计算
神经元。由于模型重点在发生计算的地方，所以通常我们在计算层数时不考虑输入层。也就是说，
fig_single_neuron 中神经网络的 层数
为1。我们可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。
对于线性回归，每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连，我们将这种变换（
fig_single_neuron 中的输出层）称为
全连接层（fully-connected layer）（或称为 稠密层 dense
layer）。下一章将详细讨论由这些层组成的网络。
3.1.4.2. 生物学¶
线性回归发明的时间（1795年）早于计算神经科学，所以将线性回归描述为神经网络似乎不合适。
当控制学家、神经生物学家沃伦·麦库洛奇和沃尔特·皮茨开始开发人工神经元模型时，他们为什么将线性模型作为一个起点呢？我们来看一张图片
fig_Neuron
，这是一张由树突（dendrites，输入终端）、细胞核（nucleus，CPU）组成的生物神经元图片。轴突（axon，输出线）和轴突端子（axon
terminals，输出端子）通过突触（synapses）与其他神经元连接。
.. _fig_Neuron:
树突中接收到来自其他神经元（或视网膜等环境传感器）的信息\(x_i\)。该信息通过突触权重 \(w_i\)来加权，以确定输入的影响（即，通过\(x_i w_i\)相乘来激活或抑制）。 来自多个源的加权输入以加权和\(y = \sum_i x_i w_i + b\)的形式汇聚在细胞核中，然后将这些信息发送到轴突 \(y\) 中进一步处理，通常会通过 \(\sigma(y)\) 进行一些非线性处理。之后，它要么到达目的地（例如肌肉），要么通过树突进入另一个神经元。
当然，许多这样的单元可以通过正确连接和正确的学习算法拼凑在一起，从而产生的行为会比单独一个神经元所产生的行为更有趣、更复杂，这种想法归功于我们对真实生物神经系统的研究。
当今大多数深度学习的研究几乎没有直接从神经科学中获得灵感。我们援引斯图尔特·罗素和彼得·诺维格谁，在他们的经典人工智能教科书 Artificial Intelligence: A Modern Approach [Russell & Norvig, 2016] 中所说：虽然飞机可能受到鸟类的启发。但几个世纪以来，鸟类学并不是航空创新的主要驱动力。同样地，如今在深度学习中的灵感同样或更多地来自数学、统计学和计算机科学。
3.1.5. 小结¶
机器学习模型中的关键要素是训练数据，损失函数，优化算法，还有模型本身。
矢量化使数学表达上更简洁，同时运行的更快。
最小化目标函数和执行最大似然估计等价。
线性回归模型也是神经网络。
3.1.6. 练习¶
假设我们有一些数据 \(x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}\)。我们的目标是找到一个常数\(b\)，使得最小化 \(\sum_i (x_i - b)^2\)。
找到最优值 \(b\) 的解析解。
这个问题及其解与正态分布有什么关系?
推导出使用平方误差的线性回归优化问题的解析解。为了简化问题，可以忽略偏置\(b\)(我们可以通过向 \(\mathbf X\) 添加所有值为1的一列来做到这一点)。
用矩阵和向量表示法写出优化问题(将所有数据视为单个矩阵，将所有目标值视为单个向量)。
计算损失对\(w\)的梯度。
通过将梯度设为0、求解矩阵方程来找到解析解。
什么时候可能比使用随机梯度下降更好？这种方法何时会失效？
假定控制附加噪声 \(\epsilon\) 的噪声模型是指数分布。也就是说，\(p(\epsilon) = \frac{1}{2} \exp(-|\epsilon|)\)
写出模型 \(-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)\) 下数据的负对数似然。
你能写出解析解吗？
提出一种随机梯度下降算法来解决这个问题。哪里可能出错？（提示：当我们不断更新参数时，在驻点附近会发生什么情况）你能解决这个问题吗？