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11.10. Adam算法¶

本章我们已经学习了许多有效优化的技术。在本节讨论之前，我们先详细回顾一下这些技术：

在 Section 11.4中，我们学习了：随机梯度下降在解决优化问题时比梯度下降更有效。
在 Section 11.5中，我们学习了：在一个小批量中使用更大的观测值集，可以通过向量化提供额外效率。这是高效的多机、多GPU和整体并行处理的关键。
在 Section 11.6中我们添加了一种机制，用于汇总过去梯度的历史以加速收敛。
在 Section 11.7中，我们使用每坐标缩放来实现计算效率的预处理。
在 Section 11.8中，我们通过学习率的调整来分离每个坐标的缩放。

Adam算法 [Kingma & Ba, 2014]将所有这些技术汇总到一个高效的学习算法中。不出预料，作为深度学习中使用的更强大和有效的优化算法之一，它非常受欢迎。但是它并非没有问题，尤其是 [Reddi et al., 2019]表明，有时Adam算法可能由于方差控制不良而发散。在完善工作中， [Zaheer et al., 2018]给Adam算法提供了一个称为Yogi的热补丁来解决这些问题。下面我们了解一下Adam算法。

11.10.1. 算法¶

Adam算法的关键组成部分之一是：它使用指数加权移动平均值来估算梯度的动量和第二力矩，即它使用状态变量

(11.10.1)¶\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{v}_t & \leftarrow \beta_1 \mathbf{v}_{t-1} + (1 - \beta_1) \mathbf{g}_t, \\ \mathbf{s}_t & \leftarrow \beta_2 \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \mathbf{g}_t^2. \end{aligned}\end{split}\]

这里\(\beta_1\)和\(\beta_2\)是非负加权参数。他们的常见设置是\(\beta_1 = 0.9\)和\(\beta_2 = 0.999\)。也就是说，方差的估计比动量的估计移动得远远更慢。注意，如果我们初始化\(\mathbf{v}_0 = \mathbf{s}_0 = 0\)，就会获得一个相当大的初始偏差。我们可以通过使用\(\sum_{i=0}^t \beta^i = \frac{1 - \beta^t}{1 - \beta}\)来解决这个问题。相应地，标准化状态变量由以下获得

(11.10.2)¶\[\hat{\mathbf{v}}_t = \frac{\mathbf{v}_t}{1 - \beta_1^t} \text{ and } \hat{\mathbf{s}}_t = \frac{\mathbf{s}_t}{1 - \beta_2^t}.\]

有了正确的估计，我们现在可以写出更新方程。首先，我们以非常类似于RMSProp算法的方式重新缩放梯度以获得

(11.10.3)¶\[\mathbf{g}_t' = \frac{\eta \hat{\mathbf{v}}_t}{\sqrt{\hat{\mathbf{s}}_t} + \epsilon}.\]

与RMSProp不同，我们的更新使用动量\(\hat{\mathbf{v}}_t\)而不是梯度本身。此外，由于使用\(\frac{1}{\sqrt{\hat{\mathbf{s}}_t} + \epsilon}\)而不是\(\frac{1}{\sqrt{\hat{\mathbf{s}}_t + \epsilon}}\)进行缩放，两者会略有差异。前者在实践中效果略好一些，因此与RMSProp算法有所区分。通常，我们选择\(\epsilon = 10^{-6}\)，这是为了在数值稳定性和逼真度之间取得良好的平衡。

最后，我们简单更新：

(11.10.4)¶\[\mathbf{x}_t \leftarrow \mathbf{x}_{t-1} - \mathbf{g}_t'.\]

回顾Adam算法，它的设计灵感很清楚：首先，动量和规模在状态变量中清晰可见，他们相当独特的定义使我们移除偏项目（这可以通过稍微不同的初始化和更新条件来修正）。其次，RMSProp算法中两个项目的组合都非常简单。最后，明确的学习率\(\eta\)使我们能够控制步长来解决收敛问题。

11.10.2. 实现¶

从头开始实现Adam算法并不难。为方便起见，我们将时间步\(t\)存储在hyperparams字典中。除此之外，一切都很简单。

%load ../utils/djl-imports
%load ../utils/plot-utils
%load ../utils/Functions.java
%load ../utils/GradDescUtils.java
%load ../utils/Accumulator.java
%load ../utils/StopWatch.java
%load ../utils/Training.java
%load ../utils/TrainingChapter11.java

NDList initAdamStates(int featureDimension) {
    NDManager manager = NDManager.newBaseManager();
    NDArray vW = manager.zeros(new Shape(featureDimension, 1));
    NDArray vB = manager.zeros(new Shape(1));
    NDArray sW = manager.zeros(new Shape(featureDimension, 1));
    NDArray sB = manager.zeros(new Shape(1));
    return new NDList(vW, sW, vB, sB);
}

public class Optimization {
    public static void adam(NDList params, NDList states, Map<String, Float> hyperparams) {
        float beta1 = 0.9f;
        float beta2 = 0.999f;
        float eps = (float) 1e-6;
        float time = hyperparams.get("time");
        for (int i = 0; i < params.size(); i++) {
            NDArray param = params.get(i);
            NDArray velocity = states.get(2 * i);
            NDArray state = states.get(2 * i + 1);
            // Update parameter, velocity, and state
            // velocity = beta1 * v + (1 - beta1) * param.gradient
            velocity.muli(beta1).addi(param.getGradient().mul(1 - beta1));
            // state = beta2 * state + (1 - beta2) * param.gradient^2
            state.muli(beta2).addi(param.getGradient().square().mul(1 - beta2));
            // vBiasCorr = velocity / ((1 - beta1)^(time))
            NDArray vBiasCorr = velocity.div(1 - Math.pow(beta1, time));
            // sBiasCorr = state / ((1 - beta2)^(time))
            NDArray sBiasCorr = state.div(1 - Math.pow(beta2, time));
            // param -= lr * vBiasCorr / (sBiasCorr^(1/2) + eps)
            param.subi(vBiasCorr.mul(hyperparams.get("lr")).div(sBiasCorr.sqrt().add(eps)));
        }
        hyperparams.put("time", time + 1);
    }
}

现在，我们用以上Adam算法来训练模型，这里我们使用\(\eta = 0.01\)的学习率。

AirfoilRandomAccess airfoil = TrainingChapter11.getDataCh11(10, 1500);

public TrainingChapter11.LossTime trainAdam(float lr, float time, int numEpochs) throws IOException, TranslateException {
    int featureDimension = airfoil.getColumnNames().size();
    Map<String, Float> hyperparams = new HashMap<>();
    hyperparams.put("lr", lr);
    hyperparams.put("time", time);
    return TrainingChapter11.trainCh11(Optimization::adam,
                                       initAdamStates(featureDimension),
                                       hyperparams, airfoil,
                                       featureDimension, numEpochs);
}

TrainingChapter11.LossTime lossTime = trainAdam(0.01f, 1, 2);

loss: 0.243, 0.103 sec/epoch

此外，我们可以用深度学习框架自带算法应用Adam算法，这里我们只需要传递配置参数。

Tracker lrt = Tracker.fixed(0.01f);
Optimizer adam = Optimizer.adam().optLearningRateTracker(lrt).build();

TrainingChapter11.trainConciseCh11(adam, airfoil, 2);

INFO Training on: 1 GPUs.
INFO Load MXNet Engine Version 1.9.0 in 0.088 ms.

Training:    100% |████████████████████████████████████████| Accuracy: 1.00, L2Loss: 0.29
loss: 0.245, 0.150 sec/epoch

11.10.3. Yogi¶

Adam算法也存在一些问题：即使在凸环境下，当\(\mathbf{s}_t\)的第二力矩估计值爆炸时，它可能无法收敛。 [Zaheer et al., 2018]为\(\mathbf{s}_t\)提出了的改进更新和参数初始化。论文中建议我们重写Adam算法更新如下：

(11.10.5)¶\[\mathbf{s}_t \leftarrow \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \left(\mathbf{g}_t^2 - \mathbf{s}_{t-1}\right).\]

每当\(\mathbf{g}_t^2\)具有高变量或更新稀疏时，\(\mathbf{s}_t\)可能会太快地“忘记”过去的值。一个有效的解决方法是将\(\mathbf{g}_t^2 - \mathbf{s}_{t-1}\)替换为\(\mathbf{g}_t^2 \odot \mathop{\mathrm{sgn}}(\mathbf{g}_t^2 - \mathbf{s}_{t-1})\)。这就是Yogi更新，现在更新的规模不再取决于偏差的量。

(11.10.6)¶\[\mathbf{s}_t \leftarrow \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \mathbf{g}_t^2 \odot \mathop{\mathrm{sgn}}(\mathbf{g}_t^2 - \mathbf{s}_{t-1}).\]

论文中，作者还进一步建议用更大的初始批量来初始化动量，而不仅仅是初始的逐点估计。

public class Optimization {
    public static void yogi(NDList params, NDList states, Map<String, Float> hyperparams) {
        float beta1 = 0.9f;
        float beta2 = 0.999f;
        float eps = (float) 1e-3;
        float time = hyperparams.get("time");
        for (int i = 0; i < params.size(); i++) {
            NDArray param = params.get(i);
            NDArray velocity = states.get(2 * i);
            NDArray state = states.get(2 * i + 1);
            // Update parameter, velocity, and state
            // velocity = beta1 * v + (1 - beta1) * param.gradient
            velocity.muli(beta1).addi(param.getGradient().mul(1 - beta1));
            /* Rewritten Update */
            // state = state + (1 - beta2) * sign(param.gradient^2 - state)
            //         * param.gradient^2
            state.addi(param.getGradient().square().sub(state).sign().mul(1 - beta2));
            // vBiasCorr = velocity / ((1 - beta1)^(time))
            NDArray vBiasCorr = velocity.div(1 - Math.pow(beta1, time));
            // sBiasCorr = state / ((1 - beta2)^(time))
            NDArray sBiasCorr = state.div(1 - Math.pow(beta2, time));
            // param -= lr * vBiasCorr / (sBiasCorr^(1/2) + eps)
            param.subi(vBiasCorr.mul(hyperparams.get("lr")).div(sBiasCorr.sqrt().add(eps)));
        }
        hyperparams.put("time", time + 1);
    }
}

AirfoilRandomAccess airfoil = TrainingChapter11.getDataCh11(10, 1500);

public TrainingChapter11.LossTime trainYogi(float lr, float time, int numEpochs) throws IOException, TranslateException {
    int featureDimension = airfoil.getColumnNames().size();
    Map<String, Float> hyperparams = new HashMap<>();
    hyperparams.put("lr", lr);
    hyperparams.put("time", time);
    return TrainingChapter11.trainCh11(Optimization::yogi,
                                       initAdamStates(featureDimension),
                                       hyperparams, airfoil,
                                       featureDimension, numEpochs);
}

TrainingChapter11.LossTime lossTime = trainYogi(0.01f, 1, 2);

loss: 0.245, 0.095 sec/epoch

11.10.4. 小结¶

Adam算法将许多优化算法的功能结合到了相当强大的更新规则中。
Adam算法在RMSProp算法基础上创建的，还在小批量的随机梯度上使用EWMA。
在估计动量和第二力矩时，Adam算法使用偏差校正来调整缓慢的启动速度。
对于具有显著差异的梯度，我们可能会遇到收敛性问题。我们可以通过使用更大的小批量或者切换到改进的估计值\(\mathbf{s}_t\)来修正它们。Yogi提供了这样的替代方案。

11.10.5. 练习¶

调节学习率，观察并分析实验结果。
你能重写动量和第二力矩更新，从而使其不需要偏差校正吗？
当我们收敛时，为什么你需要降低学习率\(\eta\)？
尝试构造一个使用Adam算法会发散而Yogi会收敛的例子。