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11.7. AdaGrad算法¶

我们从有关特征学习中并不常见的问题入手。

11.7.1. 稀疏特征和学习率¶

假设我们正在训练一个语言模型。为了获得良好的准确性，我们大多希望在训练的过程中降低学习率，速度通常为\(\mathcal{O}(t^{-\frac{1}{2}})\)或更低。现在讨论关于稀疏特征（即只在偶尔出现的特征）的模型训练，这对自然语言来说很常见。例如，我们看到“预先条件”这个词比“学习”这个词的可能性要小得多。但是，它在计算广告学和个性化协同过滤等其他领域也很常见。

只有在这些不常见的特征出现时，与其相关的参数才会得到有意义的更新。鉴于学习率下降，我们可能最终会面临这样的情况：常见特征的参数相当迅速地收敛到最佳值，而对于不常见的特征，我们仍缺乏足够的观测以确定其最佳值。换句话说，学习率要么对于常见特征而言降低太慢，要么对于不常见特征而言降低太快。

解决此问题的一个方法是记录我们看到特定特征的次数，然后将其用作调整学习率。即我们可以使用大小为\(\eta_i = \frac{\eta_0}{\sqrt{s(i, t) + c}}\)的学习率，而不是\(\eta = \frac{\eta_0}{\sqrt{t + c}}\)。在这里\(s(i, t)\)计下了我们截至\(t\)时观察到功能\(i\)的次数。这其实很容易实施且不产生额外损耗。

AdaGrad算法 [Duchi et al., 2011]通过将粗略的计数器\(s(i, t)\)替换为先前观察所得梯度的平方之和来解决这个问题。它使用\(s(i, t+1) = s(i, t) + \left(\partial_i f(\mathbf{x})\right)^2\)来调整学习率。这有两个好处：首先，我们不再需要决定梯度何时算足够大。其次，它会随梯度的大小自动变化。通常对应于较大梯度的坐标会显著缩小，而其他梯度较小的坐标则会得到更平滑的处理。在实际应用中，它促成了计算广告学及其相关问题中非常有效的优化程序。但是，它遮盖了AdaGrad固有的一些额外优势，这些优势在预处理环境中很容易被理解。

11.7.2. 预处理¶

凸优化问题有助于分析算法的特点。毕竟对于大多数非凸问题来说，获得有意义的理论保证很难，但是直觉和洞察往往会延续。让我们来看看最小化\(f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \mathbf{x}^\top \mathbf{Q} \mathbf{x} + \mathbf{c}^\top \mathbf{x} + b\)这一问题。

正如在 Section 11.6中那样，我们可以根据其特征分解\(\mathbf{Q} = \mathbf{U}^\top \boldsymbol{\Lambda} \mathbf{U}\)重写这个问题，来得到一个简化得多的问题，使每个坐标都可以单独解出：

(11.7.1)¶\[f(\mathbf{x}) = \bar{f}(\bar{\mathbf{x}}) = \frac{1}{2} \bar{\mathbf{x}}^\top \boldsymbol{\Lambda} \bar{\mathbf{x}} + \bar{\mathbf{c}}^\top \bar{\mathbf{x}} + b.\]

在这里我们使用了\(\mathbf{x} = \mathbf{U} \mathbf{x}\)，且因此\(\mathbf{c} = \mathbf{U} \mathbf{c}\)。修改后优化器为\(\bar{\mathbf{x}} = -\boldsymbol{\Lambda}^{-1} \bar{\mathbf{c}}\)且最小值为\(-\frac{1}{2} \bar{\mathbf{c}}^\top \boldsymbol{\Lambda}^{-1} \bar{\mathbf{c}} + b\)。这样更容易计算，因为\(\boldsymbol{\Lambda}\)是一个包含\(\mathbf{Q}\)特征值的对角矩阵。

如果稍微扰动\(\mathbf{c}\)，我们会期望在\(f\)的最小化器中只产生微小的变化。遗憾的是，情况并非如此。虽然\(\mathbf{c}\)的微小变化导致了\(\bar{\mathbf{c}}\)同样的微小变化，但\(f\)的（以及\(\bar{f}\)的）最小化器并非如此。每当特征值\(\boldsymbol{\Lambda}_i\)很大时，我们只会看到\(\bar{x}_i\)和\(\bar{f}\)的最小值发声微小变化。相反，对于小的\(\boldsymbol{\Lambda}_i\)来说，\(\bar{x}_i\)的变化可能是剧烈的。最大和最小的特征值之比称为优化问题的条件数（condition number）。

(11.7.2)¶\[\kappa = \frac{\boldsymbol{\Lambda}_1}{\boldsymbol{\Lambda}_d}.\]

如果条件编号\(\kappa\)很大，准确解决优化问题就会很难。我们需要确保在获取大量动态的特征值范围时足够谨慎：我们不能简单地通过扭曲空间来“修复”这个问题，从而使所有特征值都是\(1\)？理论上这很容易：我们只需要\(\mathbf{Q}\)的特征值和特征向量即可将问题从\(\mathbf{x}\)整理到\(\mathbf{z} := \boldsymbol{\Lambda}^{\frac{1}{2}} \mathbf{U} \mathbf{x}\)中的一个。在新的坐标系中，\(\mathbf{x}^\top \mathbf{Q} \mathbf{x}\)可以被简化为\(\|\mathbf{z}\|^2\)。可惜，这是一个相当不切实际的想法。一般而言，计算特征值和特征向量要比解决实际问题“贵”得多。

虽然准确计算特征值可能会很昂贵，但即便只是大致猜测并计算它们，也可能已经比不做任何事情好得多。特别是，我们可以使用\(\mathbf{Q}\)的对角线条目并相应地重新缩放它。这比计算特征值开销小的多。

(11.7.3)¶\[\tilde{\mathbf{Q}} = \mathrm{diag}^{-\frac{1}{2}}(\mathbf{Q}) \mathbf{Q} \mathrm{diag}^{-\frac{1}{2}}(\mathbf{Q}).\]

在这种情况下，我们得到了\(\tilde{\mathbf{Q}}_{ij} = \mathbf{Q}_{ij} / \sqrt{\mathbf{Q}_{ii} \mathbf{Q}_{jj}}\)，特别注意对于所有\(i\)，\(\tilde{\mathbf{Q}}_{ii} = 1\)。在大多数情况下，这大大简化了条件数。例如我们之前讨论的案例，它将完全消除眼下的问题，因为问题是轴对齐的。

遗憾的是，我们还面临另一个问题：在深度学习中，我们通常情况甚至无法计算目标函数的二阶导数：对于\(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d\)，即使只在小批量上，二阶导数可能也需要\(\mathcal{O}(d^2)\)空间来计算，导致几乎不可行。 AdaGrad算法巧妙的思路是，使用一个代理来表示黑塞矩阵（Hessian）的对角线，既相对易于计算又高效。

为了了解它是如何生效的，让我们来看看\(\bar{f}(\bar{\mathbf{x}})\)。我们有

(11.7.4)¶\[\partial_{\bar{\mathbf{x}}} \bar{f}(\bar{\mathbf{x}}) = \boldsymbol{\Lambda} \bar{\mathbf{x}} + \bar{\mathbf{c}} = \boldsymbol{\Lambda} \left(\bar{\mathbf{x}} - \bar{\mathbf{x}}_0\right),\]

其中\(\bar{\mathbf{x}}_0\)是\(\bar{f}\)的优化器。因此，梯度的大小取决于\(\boldsymbol{\Lambda}\)和与最佳值的差值。如果\(\bar{\mathbf{x}} - \bar{\mathbf{x}}_0\)没有改变，那这就是我们所求的。毕竟在这种情况下，梯度\(\partial_{\bar{\mathbf{x}}} \bar{f}(\bar{\mathbf{x}})\)的大小就足够了。由于AdaGrad算法是一种随机梯度下降算法，所以即使是在最佳值中，我们也会看到具有非零方差的梯度。因此，我们可以放心地使用梯度的方差作为黑塞矩阵比例的廉价替代。详尽的分析（要花几页解释）超出了本节的范围，请读者参考 [Duchi et al., 2011]。

11.7.3. 算法¶

让我们接着上面正式开始讨论。我们使用变量\(\mathbf{s}_t\)来累加过去的梯度方差，如下所示：

(11.7.5)¶\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{g}_t & = \partial_{\mathbf{w}} l(y_t, f(\mathbf{x}_t, \mathbf{w})), \\ \mathbf{s}_t & = \mathbf{s}_{t-1} + \mathbf{g}_t^2, \\ \mathbf{w}_t & = \mathbf{w}_{t-1} - \frac{\eta}{\sqrt{\mathbf{s}_t + \epsilon}} \cdot \mathbf{g}_t. \end{aligned}\end{split}\]

在这里，操作是按照坐标顺序应用。也就是说，\(\mathbf{v}^2\)有条目\(v_i^2\)。同样，\(\frac{1}{\sqrt{v}}\)有条目\(\frac{1}{\sqrt{v_i}}\)，并且\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\)有条目\(u_i v_i\)。与之前一样，\(\eta\)是学习率，\(\epsilon\)是一个为维持数值稳定性而添加的常数，用来确保我们不会除以\(0\)。最后，我们初始化\(\mathbf{s}_0 = \mathbf{0}\)。

就像在动量法中我们需要跟踪一个辅助变量一样，在AdaGrad算法中，我们允许每个坐标有单独的学习率。与SGD算法相比，这并没有明显增加AdaGrad的计算代价，因为主要计算用在\(l(y_t, f(\mathbf{x}_t, \mathbf{w}))\)及其导数。

请注意，在\(\mathbf{s}_t\)中累加平方梯度意味着\(\mathbf{s}_t\)基本上以线性速率增长（由于梯度从最初开始衰减，实际上比线性慢一些）。这产生了一个学习率\(\mathcal{O}(t^{-\frac{1}{2}})\)，但是在单个坐标的层面上进行了调整。对于凸问题，这完全足够了。然而，在深度学习中，我们可能希望更慢地降低学习率。这引出了许多AdaGrad算法的变体，我们将在后续章节中讨论它们。眼下让我们先看看它在二次凸问题中的表现如何。我们仍然同一函数为例：

(11.7.6)¶\[f(\mathbf{x}) = 0.1 x_1^2 + 2 x_2^2.\]

我们将使用与之前相同的学习率来实现AdaGrad算法，即\(\eta = 0.4\)。可以看到，自变量的迭代轨迹较平滑。但由于\(\boldsymbol{s}_t\)的累加效果使学习率不断衰减，自变量在迭代后期的移动幅度较小。

%load ../utils/djl-imports
%load ../utils/plot-utils
%load ../utils/Functions.java
%load ../utils/GradDescUtils.java
%load ../utils/Accumulator.java
%load ../utils/StopWatch.java
%load ../utils/Training.java
%load ../utils/TrainingChapter11.java

float eta = 0.4f;

Function<Float[], Float[]> adagrad2d = (state) -> {
    Float x1 = state[0], x2 = state[1], s1 = state[2], s2 = state[3];
    float eps = (float) 1e-6;
    float g1 = 0.2f * x1;
    float g2 = 4 * x2;
    s1 += g1 * g1;
    s2 += g2 * g2;
    x1 -= eta / (float) Math.sqrt(s1 + eps) * g1;
    x2 -= eta / (float) Math.sqrt(s2 + eps) * g2;
    return new Float[]{x1, x2, s1, s2};
};

BiFunction<Float, Float, Float> f2d = (x1, x2) -> 0.1f * x1 * x1 + 2 * x2 * x2;

GradDescUtils.showTrace2d(f2d, GradDescUtils.train2d(adagrad2d, 20));

Tablesaw not supporting for contour and meshgrids, will update soon

我们将学习率提高到\(2\)，可以看到更好的表现。这已经表明，即使在无噪声的情况下，学习率的降低可能相当剧烈，我们需要确保参数能够适当地收敛。

eta = 2;
GradDescUtils.showTrace2d(f2d, GradDescUtils.train2d(adagrad2d, 20));

Tablesaw not supporting for contour and meshgrids, will update soon

11.7.4. 从零开始实现¶

同动量法一样，AdaGrad算法需要对每个自变量维护同它一样形状的状态变量。

NDList initAdagradStates(int featureDimension) {
    NDManager manager = NDManager.newBaseManager();
    NDArray sW = manager.zeros(new Shape(featureDimension, 1));
    NDArray sB = manager.zeros(new Shape(1));
    return new NDList(sW, sB);
}

public class Optimization {
    public static void adagrad(NDList params, NDList states, Map<String, Float> hyperparams) {
        float eps = (float) 1e-6;
        for (int i = 0; i < params.size(); i++) {
            NDArray param = params.get(i);
            NDArray state = states.get(i);
            // Update param
            state.addi(param.getGradient().square());
            param.subi(param.getGradient().mul(hyperparams.get("lr")).div(state.add(eps).sqrt()));
        }
    }
}

与 Section 11.5一节中的实验相比，这里使用更大的学习率来训练模型。

AirfoilRandomAccess airfoil = TrainingChapter11.getDataCh11(10, 1500);

public TrainingChapter11.LossTime trainAdagrad(float lr, int numEpochs) throws IOException, TranslateException {
    int featureDimension = airfoil.getColumnNames().size();
    Map<String, Float> hyperparams = new HashMap<>();
    hyperparams.put("lr", lr);
    return TrainingChapter11.trainCh11(Optimization::adagrad,
                                       initAdagradStates(featureDimension),
                                       hyperparams, airfoil, featureDimension, numEpochs);
}

TrainingChapter11.LossTime lossTime = trainAdagrad(0.1f, 2);

loss: 0.243, 0.084 sec/epoch

11.7.5. 简洁实现¶

我们可直接使用深度学习框架中提供的AdaGrad算法来训练模型。

Tracker lrt = Tracker.fixed(0.1f);
Optimizer adagrad = Optimizer.adagrad().optLearningRateTracker(lrt).build();

TrainingChapter11.trainConciseCh11(adagrad, airfoil, 2);

INFO Training on: 1 GPUs.
INFO Load MXNet Engine Version 1.9.0 in 0.065 ms.

Training:    100% |████████████████████████████████████████| Accuracy: 1.00, L2Loss: 0.26
loss: 0.244, 0.167 sec/epoch

11.7.6. 小结¶

AdaGrad算法会在单个坐标层面动态降低学习率。
AdaGrad算法利用梯度的大小作为调整进度速率的手段：用较小的学习率来补偿带有较大梯度的坐标。
在深度学习问题中，由于内存和计算限制，计算准确的二阶导数通常是不可行的。梯度可以作为一个有效的代理。
如果优化问题的结构相当不均匀，AdaGrad算法可以帮助缓解扭曲。
AdaGrad算法对于稀疏特征特别有效，在此情况下由于不常出现的问题，学习率需要更慢地降低。
在深度学习问题上，AdaGrad算法有时在降低学习率方面可能过于剧烈。我们将在 Section 11.10一节讨论缓解这种情况的策略。

11.7.7. 练习¶

证明对于正交矩阵\(\mathbf{U}\)和向量\(\mathbf{c}\)，以下等式成立：\(\|\mathbf{c} - \mathbf{\delta}\|_2 = \|\mathbf{U} \mathbf{c} - \mathbf{U} \mathbf{\delta}\|_2\)。为什么这意味着在变量的正交变化之后，扰动的程度不会改变？
尝试对函数\(f(\mathbf{x}) = 0.1 x_1^2 + 2 x_2^2\)、以及它旋转45度后的函数即\(f(\mathbf{x}) = 0.1 (x_1 + x_2)^2 + 2 (x_1 - x_2)^2\)使用AdaGrad算法。它的表现会不同吗？
证明格什戈林圆盘定理，其中提到，矩阵\(\mathbf{M}\)的特征值\(\lambda_i\)在至少一个\(j\)的选项中满足\(|\lambda_i - \mathbf{M}_{jj}| \leq \sum_{k \neq j} |\mathbf{M}_{jk}|\)的要求。
关于对角线预处理矩阵\(\mathrm{diag}^{-\frac{1}{2}}(\mathbf{M}) \mathbf{M} \mathrm{diag}^{-\frac{1}{2}}(\mathbf{M})\)的特征值，格什戈林的定理告诉了我们什么？
尝试对适当的深度网络使用AdaGrad算法，例如，当应用于时尚MNIST时，使用 Section 6.6。
你要如何修改AdaGrad算法，才能使其在学习率方面的衰减不那么激进？